2014届高考数学一轮专题复习高效测试6二次函数与幂函数新人教A版

1高效测试6：二次函数与幂函数一、选择题1．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2D．－3≤a≤－2解析：由y＝(x－a)2＋(1－a2)在区间(2,3)内是单调函数得对称轴在区间(2,3)之外，即a≤2或a≥3，选A.答案：A2．(2013·黄冈质检)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则()A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2解析：幂函数y＝x13是定义域上的单调递增函数，所以0.413＜0.513，指数函数y＝0.5x是定义域上的单调递减函数，所以0.513＜0.514，故y1＜y2＜y3.答案：B3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1解析：注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝x12＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B.答案：B4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()2A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52解析：∵b＞0，∴图象①②不可能，又∵③④过原点．∴f(0)＝0，即a2－1＝0，a＝±1，又b＞0，如a＝1，－b2a＜0与③④图形矛盾．∴a＝－1.答案：B5．(2013·长春月考)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x2≠x1)，则f(x1＋x2)等于()A．－b2aB．－baC．cD.4ac－b24a解析：由题意可得x1＋x2＝－ba，所以f－ba＝a·b2a2－b·ba＋c＝c.答案：C6．(2013·山西月考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a，b，α、β的大小关系是()A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜bC．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b解析：由题意得a、b是g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的两个根，当α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)时，α、β相当于直线y＝2与y＝g(x)的交点的横坐标，由于函数g(x)＝(x－a)(x－b)的图象是开口向上的抛物线，故必在α＜a＜b＜β.答案：A二、填空题7．(2013·青岛模拟)已知函数f(x)＝x12，且f(2x－1)＜f(3x)，则x的取值范围是__________．解析：f(x)＝x12在[0，＋∞)上为增函数，f(2x－1)＜f(3x)，则0≤2x－1＜3x，∴x≥12.答案：x≥128．若(a＋1)12＜(3－2a)12，则a的取值范围是______________．解析：∵函数y＝x12在定义域(0，＋∞)上递减，∴a＋1＞0，3－2a＞0，a＋1＞3－2a，即23＜a＜32.3答案：23，329．(2012·北京卷)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是__________．解析：m≥0时，不能保证对∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2，g(x)＝2x－2，画出图象如下图，显然成立．当－1＜m＜0时，2m＞－(m＋3)，由题意知：－1＜m＜0，2m＜1，即－1＜m＜0，当m＜－1时，－(m＋3)＞2m，则由题意知m＜－1，－＋＜1，∴－4＜m＜－1，综上得－4＜m＜0.答案：(－4,0)三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈[]－1，3，其中θ∈－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[]－1，3上是单调函数．解析：(1)当θ＝－π6时，[中国教育出版网zzstep.com]f(x)＝x2－233x－1＝x－332－43，x∈[]－1，3，∴x＝33时，f(x)的最小值为－43.x＝－1时，f(x)的最大值为233.(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ，∵y＝f(x)在区间[]－1，3上是单调函数，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3.4因此，θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，π2.11．已知函数f(x)＝11335xx，g(x)＝11335xx.(1)证明f(x)满足f(－x)＝－f(x)，并求f(x)的单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．解析：(1)证明：f(－x)＝11335xx＝11335xx＝－f(x)，设x1＞x2＞0，由于y＝x13在R上递增，∴x113＞x213.又(x1x2)13＞0，∴f(x1)－f(x2)＝15(x113－x113－x213＋x213)＝15(x113－x213)[1＋(x1x2)13]＞0.即f(x)在(0，＋∞)上递增．同理f(x)在(－∞，0)上也递增．故f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，且f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)＝15(x23－x23)－15(x13－x13)(x13＋x13)＝15(x23－x23)－15(x23－x23)＝0.12．(2013·银川质检)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在整数m，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等实数根？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．解析：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．5∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．(2)方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2(3x－10)．当x∈0，103时，h′(x)＜0，h(x)是减函数．当x∈103，＋∞时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∵h(3)＝1＞0，h103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间3，103，103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的整数m＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.