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1《直线的倾斜角和斜率》教案黄梅一中张伟一.教学目标:1.知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念。(2)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。2.过程与方法(1)培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力。(2)使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。3.情感、态度与价值观(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力。(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。二.教学重点与难点:重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式。难点:斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式。三.教学方法:启发、引导、讨论(多媒体辅助教学).四、教具利用多媒体辅助教学五、教学过程(一)介绍知识背景,激发兴趣在平面几何里,我们直接依据图形中点、线、面的关系,研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法:坐标法。坐标法是在坐标系的基础上,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。本章首先在平面直角坐标系中,给直线插上方程的“翅膀”,通过直线方程研究直线之间的位置关系:平行、垂直,以及两条直线的交点坐标,点到直线的距离等。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数2学的基础之一。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率,并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。(二)情境引入通过温哥华冬奥会的滑雪赛道,赛道的陡峭与平缓反映赛道的倾斜程度,引入这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率。(三)知识探索问题在直角坐标系中如何确定直线的位置呢?方法一:初中我们学习过一次函数,一次函数的图像为一条直线,那么我们如何确定一次函数的图像呢?(两点确定一条直线)方法二:问题引导:1、过原点的直线有几条?2、与x轴正方向形成045角的直线有几条?3、过定点P与x轴形成045角的直线有几条?方法二:在平面直角坐标系中,确定一条直线位置确定的几何条件是:已知直线上的一个点和这条直线的方向。而直线的方向我们就是用倾斜角来刻画的。.Q.POxy451351LPyox2L.45451LPyox2L.3OxyαOxyαOxy通过方法二导出450角和1350角分别就是直线l1和l2的倾斜角,引出直线倾斜角的定义。(四)知识讲解1、直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫做直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.规定:当直线l和x轴平行或重合时它的倾斜角为00动画演示倾斜角的变化过程由此推导在直角坐标系中,直线绕直线与x轴交点旋转,它对x轴正方向有四种情形。2、直线的倾斜角的范围001800练习1:求下列图中直线的倾斜角是多少度?请说明理由.3、坡度(1)对于生活中斜坡,我们是用什么量刻画它的倾斜程度?(坡角与坡度)(2)坡度定义是什么?1m1nOxy.αl1⊥l21200yxOl1l24P(1,m)A(0,1)OxyαP(1,-n)A(0,1)OxyαOxyαl1ll1lOxyα900<α<180000≤α<900tan()升高量坡度为坡角前进量(3)斜坡迁移平面直角坐标系中的直线坡角对应直线的倾斜角坡度对应直线的斜率。4、过原点的直线的斜率(1)00≤α<900的直线的斜率图中直线上的点O(0,0),P(1,m),当横坐标x从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0增加到m(m≥0),称k为这直线的斜率。tanα=m(2)900<α<1800的直线的斜率图中直线上的点O(0,0),P(1,-n),当横坐标x从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0减少了n(n>0),称-n为这直线的斜率.tanα=-n5、不过原点直线的倾斜角和斜率直线l与l1平行(与x轴不垂直),则直线l的斜率k=tanα.倾斜角α=900的直线的斜率不存在6、倾斜角和斜率的关系)90(tan0k问题1α=00时,斜率k等于多少?k=tan00=05l1l2l3Oxy问题200<α<900时,斜率k是正还是负?倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化?k=tanα>0,倾斜角越大,斜率也越大.问题3900<α<1800时,斜率k是正还是负?倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化?k=tanα<0,倾斜角越大,斜率也越大.练习2(1)判断下列命题是否正确,为什么?①所有直线都有倾斜角,所有的直线都有斜率(×)②平行于x轴的直线的倾斜角是00或1800.(×)③直线的倾斜角越大,它的斜率也越大(×)(2)如图所示直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,试比较它们斜率的大小解:直线l2的倾斜角比l3的倾斜角大,且都为锐角,所以k2k30.直线l1的倾斜角为钝角,所以k10.故k2k3k1.7、过两点的直线的斜率公式在直线l上任取不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2).设△x=x2-x1,△y=y2-y1由相似三角形的关系可得:通过动画演示,若P1,P2发生变化,k不发生变化,体现P1,P2的任意性.过两点的直线的斜率公式为:).(211212xxxxyyk(五)例题讲解:P(1,k)A(1,0)xOyP1(x1,y1)P2(x2,y2)△x△yl2121yyykxxx-D==D-6例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.略解:直线AB的斜率k1=1/70,所以它的倾斜角α是锐角;[来源:学科网]直线BC的斜率k2=-0.50,所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=10,所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y-0)/(x-0),所以x=y可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.(六)课堂练习:1、已知三点A(-2,3),B(3,-2),C(0.5,m)在同一直线上,求实数m的值。(七)课堂小结:1、知识方面:(1)直线的倾斜角和斜率的概念.(2)直线的斜率公式.2、思想方法方面:(1)渗透了分类讨论的思想(2)“几何问题代数化”的思想(八)课后作业:P89习题3.11.2.3.4
本文标题:111直线的倾斜角与斜率教案
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