数列通项公式的求法(最全),你值得拥有!

普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994通项公式的求法普宁华美实验学校李锋类型一观察法：已知前几项，写通项公式一、普通数列：例.试写出下列数列的通项公式na1212112--,-3253277777777773baba（），，，，（），，，（），，，12(1)nnan7(101)9nna(1)22nnababa方法规律总结：1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。2.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法”3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。类型二、前n项和法已知前n项和，求通项公式11(1)(2)nnnSnaSSn设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通项公式.例2：设数列﹛an﹜满足a1=1,an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*）求﹛an﹜的通项公式.例3：21212nnann1112(1)nnannn提示：把an代换成Sn-Sn-1设各项正数数列﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足2Sn=an+1/an，求﹛an﹜的通项公式。(有点难哦！)练习：1nann例2：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通项an.练：111311,3(2)2nnnnnaaaanan已知中,证明：类型一、累加法形如的递推式1()nnaafn11223343221123.......32nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa解：以上各式相加n1a(234)(n+2)(n-1)=1+2an得二、递推数列：条件：f（1）+f（2）+…f（n-1）的和要可以求出才可用例4：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项练：122,2,.nnnnaaaaan1已知中，求通项类型二、累乘法形如的递推式1()nnafna1234123123423221232113,3,3,3.......3,33333323nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323nnnnnna条件：f（1）f（2）…f（n-1）的积要可以求出才可用例5：111,21.nnnnaaaaa数列满足,求类型三、形如的递推式1()nnapafn分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好1、形如1nnapaq通用方法：待定系数法解：由121nnaa得：112(1)nnaa∴{1}na是以112a为首项，2为公比的等比数列故11222nnna∴21nna普宁华美实验学校李锋[e-mail]:558289942、形如1nnapaAnB类型三、形如的递推式1()nnapafn例6.已知数列}{na满足12(21)nnaan，且21a，求通项na解：设)(2)1(1bknabnkann，对比系数得21kbk解得1,2bk故12251nann分析：构造等比数列{an+kn+b}，普宁华美实验学校李锋[e-mail]:558289943、形如21nnapaAnBnC类型三、形如的递推式1()nnapafn例7.已知数列}{na满足11a，且2121nnaann，求通项na解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz，对比系数得1211xyxzxy解得113xyz故2{3}nann以2为公比，21113=6a为首项的等比数列。故213=6232nnnann即2323nnann分析：构造等比数列{an+xn2+yn+z}，普宁华美实验学校李锋[e-mail]:558289944、形如1nnnapaAqB类型三、形如的递推式1()nnapafn例8.已知数列}a{n满足1122313nnnaaa，，求数列}a{n的通项公式解：设1132(3)nnnnaxyaxy，对比系数得21xy解得21xy故{231}nna以2为公比，11231=-2a为首项的等比数列。故1231=-222nnnna即2321nnna分析：构造等比数列{an+xqn+y}，例6：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式取倒法构造辅助数列类型四、形如的递推式1nnnpaaqar111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列111(1)22121nnnnnaaan普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型五、（1）形如的递推式11nnnaAaBA例7：1113,33,nnnnaaaaan数列满足:求通项公式.1111133133133-11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）相除法类型五、（2）形如的递推式11nnnaAaBC相除法11-3,352nnnaaaan1求变式：解法1：两边同除以3n解法2：两边同除以2n解法3：待定系数法，构造{2}nna普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型五、（3）形如的递推式11nnnnapaqaa例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）两边同除以an+1an相除法普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型六、（1）形如的递推式1rnnapa例（2002上海）若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁解：由题意知na＞0，将21nnaa两边取对数得：nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列}{lgna是以1lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，12113lg2lglgnnnaa即123nna分析：取对数后构造等比数列普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994例.已知数列na中，2111,31210nnnaaaa，求na解：2131210nnnaaa变形为：21232nnaa两边取对数易求得：1223nna1232nna分析：先转化后取对数再构造等比数列类型六、（2）形如递推式1()rnnaxpax普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：1.特征根法：对于由递推公式21nnnapaqa,1a=,2a=给出的数列{an}，方程20xpxq,叫做数列的特征方程。若12,xx是特征方程的两个根，（1）当12xx时，数列{an}的通项为1112nnnaAxBx，其中A、B由1a=,2a=决定（即把1212,,,aaxx和n=1,2,代入1112nnnaAxBx，得到关于A、B的方程组）；（2）当12xx时，数列的通项为11()nnaABnx，其中A、B由1a=,2a=决定（即把1212,,,aaxx和n=1,2，代入11()nnaABnx，得到关于A、B的方程组）。21nnnapaqa普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：2.不动点法：如果数列na满足下列条件：已知1a的值且对于nN，都有1nnnpaqarah（其中p、q、r、h均为常数，且ph≠qr,r≠0,1har），那么，可作特征方程pxqxrxh，（1）.当特征方程有且仅有一根时0x，则01nax是等差数列；（2）.当特征方程有两个不等的根x1、x2时，则12nnaxax是等比数列。1nnnpaqarah普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型七、特征根法、不动点法（二）特征根法：解：设211()nnnnaxayaxa整理得：21()nnnaxyaxya对比系数可得：32xyxy解得：1221xxyy或1）取21xy则有：21121(2)nnnnaaaa则121=212=nnaaaa①即1+1=2(+1)nnaa故1+1=222nnna即21nna例.数列na满足121,3aa，2132(*)nnnaaanN，求通项公式普宁华美实验学校李锋[e-mail]:558289942）取12xy则有：2112()nnnnaaaa则11=22=2nnnnaa②叠加得：21nna综合以上两种情况一起考虑即1221xxyy或两组解都取，由上述过程可知：①②都成立，即11==212nnnnnaaaa解得：21nna普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994解：特征方程为：2320xx解得11221221xxxx或因为12xx故可设12=2nnnnaAxBxAB将121,3aa带入得：2143ABAB解得：11AB所以21nna特征根解法如下：普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994试求斐波那契数列（兔子数列）：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式解：其递推关系式如下：122111nnnaaaaa，此数列的特征方程是：21xx，解该方程得两实根分别是1,2152x，故通项公式可设为11151522nnnaAB由121,1aa得：11515122ABAB　　　　　　　　　①　　②解方程组得：1152511525AB所以，11515225nnna普宁华美实验学校李锋[e-mail]:55828994类型七、特征根法、不动点法（三）不动点法：解：由已知,得nnnaaa816521,其特征方程为xxx81652解之得,211x或452xnnnaaa816)21(6211,①nnnaaa81