21二次根式知识点+典型例题+习题

21.1二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。二次根式a的特点：（1）在形式上含有二次根号，表示a的算术平方根。（2）被开方数a≥0，即必须是非负数。（3）a可以是数，也可以是式。（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：aa2(a0))0()0(2aaaaaa相关例题1.二次根式的概念例题一：下列各式中144,20,,1,3,152222mbaba，二次根式的个数是（）考点：二次根式的概念．分析：二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可．解答：解：3a，12b有可能是负数，-144是负数不能作为二次根式的被开方数，所以二次根式的个数是3个。点评：本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点．变式一:下列各式中①，a②，zy③，6a④，32a⑤，962xx⑥，12x一定是二次根式的有()个。解：①被开方数a有可能是负数，不一定是二次根式；②被开方数y+z有可能是负数，不一定是二次根式；③被开方数6a一定是非负数，所以③一定是二次根式；④被开方数32a一定是正数，所以④一定是二次根式；⑤被开方数22)3(96xxx一定是非负数，所以⑤一定是二次根式；⑥被开方数12x有可能是负数，不一定是二次根式；一定是二次根式的有3个，故选C．点评：用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数．2.二次根式中字母的取值范围的基本依据例题二：函数y=31x中自变量x的取值范围是_______．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式即可求解．解答：解：依题意，得x﹣3＞0，解得x＞3．点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．变式二：若式子xx1有意义，则x的取值范围是_______．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．解答：解：根据二次根式的性质可知：x+1≥0，即x≥﹣1，又因为分式的分母不能为0，所以x的取值范围是x≥﹣1且x≠0．点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子a（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零．3.二次根式的相关等式例题三：对任意实数a，则下列等式一定成立的是（）A．aaB．aa2C．aa2D．aa2考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断．解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、aa2，故本选项错误．D、故本选项正确．故选D．点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．练习题1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、02、当x是多少时，31x在实数范围内有意义？3、当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？4、下列式子中，是二次根式的是（）A．-7B．37C．xD．x5．下列式子中，不是二次根式的是（）A．4B．16C．8D．1x6．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5B．5C．15D．以上皆不对7．形如________的式子叫做二次根式．8．面积为a的正方形的边长为________．9．负数________平方根．10、计算1．（1x）2（x≥0）2．（2a）23．（221aa）24．（24129xx）2课后作业1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？3．若3x+3x有意义，则2x=_______．4.使式子2(5)x有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知a、b为实数，且5a+2102a=b+4，求a、b的值．6、计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5)(2332)(2332)练习题与课后作业答案练习题1、解：二次根式有：2、x（x0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1xy．2、解：由3x-1≥0，得：x≥13，当x≥13时，31x在实数范围内有意义．3、解：依题意，得23010xx由①得：x≥-32由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-1时，23x+11x在实数范围内有意义．4．A5．D6．B7．a（a≥0）8．a9．没有10、解：（1）因为x≥0，所以x+10（1x）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴221aa=a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（24129xx）2=4x2-12x+9作业题1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2．依题意得：2300xx，320xx∴当x-32且x≠0时，23xx＋x2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-46、．（1）（9）2=9（2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6(5)-621.2二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法)0,0(baabba),0(obabaab2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：)0,0(bababa)0,0(bababa（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3.化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用baab（3）将平方式（或平方数）应用)0(2aaa把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。相关例题二次根式的乘法及其化简例4．计算（1）5×7（2）13×9（3）9×27（4）12×6分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）5×7=35（2）13×9=193=3（3）9×27=292793=93（4）12×6=162=3变式四化简（1）916（2）1681（3）81100（4）229xy（5）54分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1）916=9×16=3×4=12（2）1681=16×81=4×9=36（3）81100=81×100=9×10=90（4）229xy=23×22xy=23×2x×2y=3xy（5）54=96=23×6=36二次函数的除法及其化简例题五计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648分析：上面4小题利用ab=ab（a≥0，b0）便可直接得出答案．解：（1）123=123=4=2（2）3128=313834282=3×=23（3）11416=111164164=4=2（4）648=648=8=22变式五化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy分析：直接利用ab=ab（a≥0，b0）就可以达到化简之目的．解：（1）364=33864（2）22649ba=2264839bbaa（3）2964xy=293864xxyy（4）25169xy=25513169xxyy练习题1．计算112121335的结果是（）．A．275B．27C．2D．272．阅读下列运算过程：1333333，2252555553．分母有理化:(1)132=_________;(2)112=________;(3)1025=______.4．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．5.已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值．6.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1(21)2121(21)(21)=2-1，132=1(32)3232(32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+……120022001）（2002+1）的值．答案1．A2．C3．(1)36;(2)36;(3)10252225254．1535.分析：式子ab=ab，只有a≥0，b0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-60，即6x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx，即96xx∴6x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x）(4)(1)(1)(1)xxxx=（1+x）41xx=（1+x）4(1)xx=(1)(4)xx∴当x=8时，原式的值=49=6．6.分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=（2-1+3-2+4-3+……[phone]）×（2002+1）=（2002-1）（2002+1）=2002-1=2001课后作业1．化简422xxy=_________．（x≥0）2．a21aa化简二次根式号后的结果是_________．3.已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值．4．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？5．计算（1）32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m0，n0）（2）-3222332mna÷（232mna）×2amn（a0）6．已知a为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a·1aa=（a-1）a7．若x、y为实数，且y=224412xxx，求xyxy的值．答案1．x22xy2．-1a3.分析：式子ab=ab，只有a≥0，b0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-60，即6x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得9060xx，即96xx∴6x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x）(4)(1)(1)(1)xxxx=（1+x）41xx=（1+x）4(1)xx=(1)(4)xx∴当x=8时，原式的值=49=6．4．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意，得：（3x）2+x2=（315）2，4x2=9×15，x=3215（cm），3x·x=3x2=13543（cm2）．5．（1）原式＝-4252nnmm÷32nm=-432522nnmmmn=-3222nnnnnmmmm=-23nnm（2）原式=-22223()()2mnmnaaamnmn=-2232a=-6a6．不正确，正确解答：因为3010a