《概率论与数理统计》期末复习题

题目类型：选择题，填空题，计算题。提醒注意以下几点：1、概率论部分中的古典概率计算只要求常见类型如抽球问题和分球入盒问题2、要求熟知事件关系及其运算，各种概率计算公式等；3、常用分布的概率计算以及性质，数学期望与方差；4、一维、二维随机变量的分布函数密度函数之间的关系以及运算,随机变量的独立性与相关性的关系以及判别；5、随机变量数学期望与方差以及协方差与相关系数的性质与计算；6、掌握正态分布随机变量的有关计算以及利用中心极限定理的计算；7、数理统计的基本概念，常用的抽样分布以及各分布表分位点的性质；8、掌握参数估计中的矩估计与极大似然估计、估计量的无偏性和有效性；9、区间估计与假设检验，只考单个正态总体的两个参数的区间估计和假设检验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。《概率论与数理统计》复习一、填空题CBA1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”可表示为_________;事件“A、B、C不都发生”可表示为_____________事件“A、B、C都不发生”可表示为______________。CBACBA2.100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为_______（只写算式）。5100290310CCC3,132,5.021,4.01,0xxxxxF3.已知随机变量X的分布函数为，则P(X=1)=_0.4，P(X=2.5)=0_4.设3,1~NX则X的函数Y=31X~N(0,1)。5.设二维随机变量（X,Y)的联合分布律为121,jiyYxXP;3,2,1i4,3,2,1j则1xXP__1/3____15_2XD5.1EX62EX_____3__2XE_____75.3__)(XD6.已知，则7.在假设检验中若原假设H0实际为真时却拒绝H0，称这类错误为弃真（第一类)错误8.设随机变量pnbX,~4.2EX44.1DX则__6_n_4.0___p66.00xp9.若X～2(10)，则E(X)=10，D(X)=2010.P(2(11)s)=0.05,则675.19)11(250.0s357.080.21)12,9(1)12,9(1)9,12(.110.0595.0195.0FFF05.005.005.095.0)50()5()5(.12uttt，213121)(,)(,)(ABPBPAP,12/7)(,4/1)(BAPABP则4/3)(BAP13.已知A,B为两事件，14.已知A，B为两事件，4.0AP6.0ABP16.0ABP则15.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，则E{(2X+3Y)(4Z-1)}=27/216.若X与Y相互独立，则必有X与Y不相关二、解答题1.将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频率程度为2:1。(1)若接受站收到一信息，是A的概率是多少？（2）若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？解：设21AA，分别表示发出A,B.1B2B分别表示收到A,B2121111ABPAPABPAPBP01.03198.0326567.09949.01971966567.098.032111111BPABPAPBAP事件独立性的应用举例1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则)()()()(2121nnAPAPAPAAAP2.甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98另解02.0)8.01)(9.01()()()()(BPAPBAPCP98.0)(1)(CPCP3.甲、乙、丙三人独立破译一份密码。已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。（1）求密码能破译的概率；（2）求甲、乙、丙中恰有一人破译密码的概率。解设A，B，C分别表示甲、乙、丙译出的事件，D表示密码被破译的事件，E表示恰有一人译出的事件，则53)(1)()(52)411)(311)(511()(*)(*)()()()1(DPCBAPDPCPBPAPCBAPDP3013)()()()()()()()()()()()2(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBACBACBAPEP恰有一人译出的概率为4.设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为00,00,)(，xxAexfx试求(1)常数A(2)X的分布函数F(x)10)(00AdxAedxdxxfxA解：xdxxfxF)()(，当0x00)(xdxxF0x当xxxxedxedxdxxfxF10)()(000001)(xxexFx5.已知随机变量X的密度函数为其他021210xxxaxxf)(求(1)常数a(2)分布函数)2321(3XP）（（4）求E(X),D(X)解：1212)2(1)(12110adxxaxdxdxxf）（得a=12121)2(1000)(21010xxdtttdtxtdtxxFxx）（2121122102100)(22xxxxxxxxF)2321(3XP）（43)22(2)2()(231212122311212321xxxdxxxdxdxxf131312421321210321102xxxdxxxdxxEX）（6741324122132131042121032xxxdxxxdxxEX6116722EXEXDX6.设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率),2523(),23(XPXP解设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：)32(XPX0123P1/21/41/81/8X的分布函数：332211000)()(81814121814121412121xxxxxxXPxF3132211000874321xxxxx7.离散型随机变量X的分布函数为2/122,21,3/211,1,0)(）（且XPxbaxaxaxxF求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。解因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2，a+b=1于是a=1/6,b=5/6X的分布律为X-112p1/61/31/28.设连续型随机变量X的分布函数为求（1）常数A，B的值；（2）P（-1X1）；（3）求X的密度函数。)0(0,00,)(xxBeAxFx0,00,1)(10)(lim1)(lim)(1)1(0xxexFBBAxFXAABeAFxxxx故以分布函数是连续的，是连续型随机变量，所因解eFFXP1)1()1()11()2(0x,00x,e)x(F)x(f)3(x/万公里的概率。只行驶路程不足只轮胎，试求至少有两今从中随机抽取其概率密度为是一个随机变量，已知（以万公里计）能行驶的路程设某种轮胎在损坏以前305,0,00,101)(;910xxexfXx99997.09502.019502.0159502.019502.00513059502.01101)(3030415030300310PedxedxxfXPx万公里的概率为驶路程不足只轮胎中至少有两只行）〈（万公里的概率为程不足解一只轮胎能行驶的路10.二维随机变量（X,Y)的联合密度函数为其他,00,10,1,xyxyAyyxf(1)试确定常数A；(2)求关于X和Y的边缘密度函数；(3)判断X和Y是否相互独立。解：(1)dyyAydxdxdyyxfx0101,112321032AdxxAxA12A其他其他）（,010,46010)1(12,2320xxxxdyyydyyxfxfxX其他其他010)1(12010)1(12),()(21yyyydxyydxyxfyfyyfxfyxfYX,3）（所以X与Y不独立11.二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为(1),01,01(,)0,Ayxyxyfxy其他（1）确定常数A（2）试问X与Y是否相互独立？解：（1）dxdyyxf,1dxxyyAdy10101dyyxxyxA1010221AyyA474310274AdyxyydyyxfxfX174,210）（xxyyy3722121741022当0x1dxxyydxyxfyfY174,10yyxxyx231742174102当0y1.yxfyfxfYX,所以X与Y不独立(1)求常数K；(2)求联合分布函数F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y1)。12.已知解(1)其它00,0),(~),(32yxKeyxfYXyx1),(dxdyyxf00321dyKedxyx030216kdyedxeKyxK=6Oxyx+2y=1(2)xydudvvufyxF),(),(其它00,060032yxdudvexyvu其它00,0)1)(1(32yxeeyx(3)10210326)12(xyxdyeedxYXP5135.02)1(2101032dxeexyx13.设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数其它00y,0xe),()yx(xyxf(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？Oxy解dyyxfxfX),()(其它00xxe0)yx(dy其它00xxexdxyxffY),()y(其它00yexey0yx(dx）由于f(x,y)=fX(x)fY(y)，因此X与Y相互独