计算方法与实习第五版-习题答案

计算方法(数值分析)习题答案——第一、二章教师：马英杰成都理工大学核自学院习题1——1：指出下列各数有几位有效数字4.86754.086750.0867596.473096*10556462绪论0.000962习题1——2：对下列各数写出具有5位有效数字的近似值3.258943.25893.258964.3820000.0007892473.25904.38200.00078925绪论绪论习题1——4：已知下列近似值x1=4.8675,x2=4.08675,x3=0.08675，求x1+x2+x3的误差限。解：53524110*5.0)(,10*5.0)(,10*5.0)(xexexe)()()()(321321xexexexxxe455432132132110*6.010*5.010*5.010*5.0)()()()()()()(xexexexexexexxxe绪论习题1——6：一台10进制的计算机，4位字长，阶码p∈[-2,3]，可以表示的机器数有多少个？给出它的最大数、最小数及距原点最近的非零数，并求fl(x)的相对误差限。解：β=10，t=4，L=-2，U=3机器数个数：2*(β-1)*βt-1*(U-L+1)+1=2*9*103*6+1=108001距原点最近的非零数：±0.1000*10-2最大的数：0.9999*103最小的数：-0.9999*103相对误差限：0.5*10-3(舍入机)，10-3(截断机)绪论习题1——10：设用秦九韶法求f(3)。解：1944.08)(345xxxxxf19044.083x82423.670.874.8224.4224.4673.2664.21992.61993.6∴f(3)=1993.6第一章绪论练习1．《计算方法》课程主要研究以计算机为工具的分析方法，并评价该算法的计算误差。2．近似值作四则运算后的绝对误差限公式为，近似值1.0341的相对误差限不大于，则它至少有三位有效数字。数值)(21xx)()(21xx21041第一章绪论练习3．设数据x1，x2的绝对误差限分别为0.05和0.005，那么两数的乘积x1x2的绝对误差限(x1x2)=。4.0.00234711具有5位有效数字的近似值是:()a．0.00235b．0.0023471c．0.0023d．0.002347115.在β=10，t=5，－L=U=5的截断机上，与数410037对应的规格化浮点数是:()a.0.41003×106b.0.41004×106c.4.10037×105d.上溢12005.005.0xxbd第一章绪论练习6.自然数e*=2.718281828459045…，取e≈2.71828，那么e的有效数字是:()a．5位b．6位c．7位d．8位7.数13.013627……的有四位有效数字的近似值是:()a．13.00b．13.02c．13.014d．13.013bd方程求根习题2——1：证明方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个根，用二分法求误差不大于1/2*10-3的根需要迭代多少次？解：1）求单调区间f’(x)=-1-cosx，可知在(3.14,0)区间f’(x)0，单调递减2）在(3.14,0)区间逐步搜索f(0)=1-0-sin0=10，f(1)=1-1-sin1=-sin10∴方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个根。3）求二分次数31110*21212kkab965.9)2ln()10ln(3k∴需二分10次方程求根——二分法习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根f(0)=20，f(1)=2/e-sin1≈-0.10，f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos102）判断二分次数由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965，所以需要二分10次，才能满足精度要求。方程求根习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。解：3）迭代计算序号根的近似值序号根的近似值10.500060.921920.750070.914130.875080.918040.937590.920050.9063100.9209∴x≈0.921方程求根习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。解：1.找出方程的有根区间令f’(x)=ex-4=0,x=ln4≈1.4，所以有两个单调区间：[-∞，1.4](递减)和[1.4，∞](递增)[-∞，1.4]区间：f(0)=10，f(1)=e-40，所以有根区间为：[0，1](2)有根区间：(1)单调区间：[1.4，+∞]区间：f(2)=e2-80，f(3)=e3-120，所以有根区间为：[2，3]∴存在两个有根区间为：[0，1]和[2，3]方程求根习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。解：2.在区间[0,1]上构造收敛的公式并计算(1)两种等价形式：|φ1’(x)|=ex/41(收敛)，迭代公式为：x=ex/4=φ1(x)；x=ln(4x)=φ2(x)(2)x=ex/4=φ1(x)：(3)x=ln(4x)=φ2(x):|φ2’(x)|=1/x1(发散)41kxkex(4)计算：x1=0.2500x0=0x2=0.3210x3=0.3466x4=0.3529x5=0.3558x6=0.3568x7=0.3572x8=0.3573x9=0.3574x10=0.3574∴x≈0.3574方程求根习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。解：2.在区间[2,3]上构造收敛的公式并计算(1)两种等价形式：|φ1’(x)|=ex/41(发散)x=ex/4=φ1(x)；x=ln(4x)=φ2(x)(2)x=ex/4=φ1(x)：(3)x=ln(4x)=φ2(x):|φ2’(x)|=1/x1(收敛),迭代公式为：)4ln(1kkxx∴x≈2.153(4)计算：x1=2.079x0=2x2=2.118x3=2.137x4=2.146x5=2.150x6=2.152x7=2.153x8=2.153方程求根习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。1)x=1+1/x22)x3=1+x24)x2=x3-13)x2=1/(x-1)解：211)1xx(x)|1’(x)|=|-2x31|=21.531|x0=1.5=0.591(收敛)321)2xx|2’(x)|=|31322)1(x2x|=5.13220|)1(32|xxx=0.45571(收敛)方程求根∵|2’(x)||1’(x)|∴2比1收敛快解：1)33xx1(不收敛)11)4xx|’(x)|=|215.1230|)1(xx=1.41421(不收敛)方程求根)('x89.2)1(233)1(215.1213222130xxxxx∵|2’(x)||1’(x)|∴2比1收敛快3211kkxx方程求根习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。解：计算根3211kkxx1）迭代公式：2）迭代计算：∴x≈1.466x1=1.481x0=1.5x2=1.473x3=1.469x4=1.467x5=1.466x6=1.466方程求根习题2——9：用牛顿迭代法求方程x5-235.4=0的根，要求精确到4位有效数字，取初值为3。解：f(x)=x5-235.4,f’(x)=5x44545154.235454.235kkkkkkxxxxxx1）写出迭代公式：2）迭代计算：∴x≈2.981x1=2.977x0=3.0x2=2.982x3=2.981x4=2.981方程求根习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要求精确到4位有效数字，取x0=2,x1=2.2。解：)()())((111kkkkkkkxfxfxxxfxx∴x≈2.095x1=2.2x0=2.0f(x0)=-1f(x1)=1.248089.2)1(248.1)22.2(*248.12.22xf(x2)=-0.0621094.2248.10621.0)2.2089.2(*0621.0089.23xf(x3)=-0.0036095.20621.00036.0)089.2094.2(*0036.0094.24xf(x4)=0.00001095.200361.000001.0)094.2095.2(*00001.0095.25x方程求根——练习1求解方程f(x)＝0，若可以表成x＝(x)，则用简单迭代法求根，那么要使近似根序列一定收敛，(x)应满足：a.b.c.d.,,,,21nxxx1)('rx1)('rx1)('rx1)('rx方程求根——练习1用二分法求方程在区间[1,1.5]内的近似根，要求精确到小数点后第2位，则至少需要二分次。用迭代法求方程根的关键问题是：a．精确地选定初值b．选定一个粗糙的初值c．正确构造一个迭代公式d．编好计算程序612lnlnabk