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§1.2命题、充分条件与必要条件考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§1.2命题、充分条件与必要条件双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．命题可以判断____，用__________表述的语句叫作命题，其中________的语句叫作真命题，________的语句叫作假命题．真假文字或符号判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有____的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_________________相同不一定相同．思考感悟1．根据四种命题的关系判断原命题的逆命题和否命题的真假关系如何？提示：原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，它们有相同的真假．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”为真命题，记p⇒q，则______的充分条件，______的必要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作：p⇔q，则______的充要条件，q也是p的____________p是qq是pp是q充要条件．思考感悟2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：因为“若p，则q”的逆命题“若q，则p”为真，所以q⇒p.即p是q的必要条件，又因为“若p，则q”的逆否命题“若﹁q，则﹁p”为假，即“若p，则q”为假，所以pDq，故p不是q的充分条件，所以p是q的必要不充分条件．1．(教材例题改编题)下列语句是命题的是()①3是无理数吗？②a2＋a＋1＞0.③一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数．④若x2＜1，则－1＜x＜1.⑤若x∈R，则x2＋4x＋10＞0.A．①②③B．②③④C．②④⑤D．③④⑤答案：D课前热身2．(2010年高考天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B3．(2011年亳州联考)“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B4．(2011年铜川质检)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案：若x≤y，则x2≤y25．下列命题：①若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；②若x2＝1，则x＝1；③若x＝y，则x＝y；④若x＜y，则x2＜y2.其逆命题为真命题的序号为________．答案：①②考点探究•挑战高考考点突破命题的关系及其真假的判断本考点主要包括命题的概念，四种命题及其真假的判断，判断一个语句是不是命题，要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件；判断命题的真假关键是要分清命题的条件与结论，然后直接判断，如果不易直接判断的，可根据互为逆否命题的等价关系来判断．“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．”是否是命题？若是回答下列问题，若不是改写为命题后回答下列问题．(1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论；(2)写出逆命题，判定真假，并证明你的结论．【思路点拨】能够判断真假的陈述句是命题，题目所给的是祈使句，改写为命题后，把原命题的条件和结论都加以否定则为否命题，条件和结论互换得逆命题．例1【解】祈使句，不是命题．命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．否命题是真命题．证明：∵a＋b＜0，∴a＜－b或b＜－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a)＞f(－b)或f(b)＞f(－a)，∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＞f(－b)＋f(－a)，则a＋b＜0.逆否命题为真命题．证明：(用反证法)假设a＋b≥0，则a≥－b或b≥－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．所以f(a)≤f(－b)或f(b)≤f(－a)，同向不等式相加得f(a)＋f(b)≤f(－b)＋f(－a)，与f(a)＋f(b)＞f(－b)＋f(－a)相矛盾．∴a＋b＜0.【易错警示】本题在写否命题时易出现“已知…不是减函数，…”这种否定大前提的错误，致错的原因在于没有弄清四种命题之间的关系．充分条件与必要条件的判定处理此类问题一般有两种方法：一是利用定义判断；二是利用集合的包含关系判断．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：m＜14，q：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解．(2)设0＜x＜π2，p：xsin2x＜1，q：xsinx＜1.(3)p：x＝kπ＋π4(k∈Z)，q：tanx＝1.例2【思路点拨】分清命题的条件和结论，分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者或用集合的包含关系求解．【解】(1)∵x2＋x＋m＝0有实数解．∴Δ＝1－4m≥0，∴m≤14.令A＝{m|m＜14}，B＝{m|m≤14}．显然AB.∴p是q的充分不必要条件．(2)∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1.由xsinx＜1，知xsin2x＜xsinx＜1.因此必要性成立．由xsin2x＜1，得xsinx＜1sinx.而1sinx＞1，因此充分性不成立．∴p是q的必要不充分条件．(3)当x＝kπ＋π4(k∈Z)时，tanx＝1，∴充分性成立．又当tanx＝1时，x＝kπ＋π4，k∈Z，∴x＝kπ＋π4(k∈Z)成立，即x＝kπ＋π4(k∈Z)是tanx＝1的必要条件．∴p是q的充要条件．【反思感悟】(1)注意两种说法“p是q的必要而不充分条件”与“q的必要而不充分条件是p”是等价的．(2)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．互动探究1若例2其它条件不变，q是p的什么条件？解：(1)q是p的必要不充分条件．(2)q是p的充分不必要条件．(3)q是p的充要条件．充要条件的应用涉及参数的问题解决起来较为困难时，注意等价转化，转化后就显得好理解了．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题，常常借助集合的观点来考虑．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．【思路点拨】从集合的观点来看，x∈P是x∈S的充要条件，即P＝S.x∈P是x∈S的必要条件，即PS，由此列出关于m的不等式(组)可求出m的范围．例3【解】P＝{x|x2－8x－20≤0}＝{x|－2≤x≤10}．(1)∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S.∴1－m＝－21＋m＝10，此方程组无解．∴不存在m使x∈P是x∈S的充要条件．(2)∵x∈P是x∈S的必要条件，∴PS，如图所示．∴1－m≥－21＋m≤10，解得m≤3.∴存在m≤3使x∈P是x∈S的必要条件．【规律方法】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)记p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.变式训练2已知p：|1－x－13|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．﹁﹁解：法一：由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，∴q：A＝{x|x＞1＋m，或x＜1－m，m＞0}．由|1－x－13|≤2，得－2≤x≤10，∴p：B＝{x|x＞10，或x＜－2}．∵p是q的必要不充分条件，∴AB⇔m＞0，1－m≤－2，1＋m≥10.解得m≥9.所以，实数m的取值范围是{m|m≥9}．法二：∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且pDq.∴p⇒q，且qDp，即p是q的充分不必要条件．∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，∴CD，∴1＋m≥10，1－m≤－2，∴m≥9，所以，实数m的取值范围是{m|m≥9}．方法技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．(如例1)2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真的．(如课前热身5)方法感悟3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假．(如例2(3))(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(如例3变式)(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．(如例3)失误防范1．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只要否定命题p的结论即可．如命题p：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b.命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b.2．B的充分条件是A，是指A⇒B，A的充分条件是B，是指B⇒A，A的充要条件是B，充分性是指B⇒A，必要性是A⇒B，此语句应抓“条件是B”．A是B的充要条件，此语句应抓“A是条件”．要注意A与B之间关系的方向性，不要混淆．从近两年的高考来看，命题的考查以基本概念为主，并且以命题为工具考查其他知识，有关“命题的真假”为必考内容，题型以选择、填空题为主，难度不大；充要条件是高考考查的热点，主要以各章知识点为载体来考查充分必要条件，题型以选择题为主，分值为5分，属中低档题．预测在2012年的高考中充要条件的判定、四种命题以及真假的判断仍为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．考向瞭望•把脉高考考情分析(2010年高考北京卷)a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例真题透析【解析】f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋xb2－xa2－a·b＝(a·b)x2＋x(b2－a2)－a·b.充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(b2－a2)x，若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数，若|a|＝|b|，则f(x)是常函数，∴充分性不成立．必要性：∵f(x)是一次函数，∴a·b＝0且b2－a2≠0，∴a⊥b且|b|≠|a|，∴必要性成立．故选B.【答案】B【名师点评】(1)本题易失误的是：①基础不牢，不知a⊥b⇔a·b＝0.②分不清条件、结论，以致充分性和必要性弄反．③不明了函数为一次函数的条件，以致忽略b2－a2≠0.(2)本题是平面向量与简易逻辑知识的交汇，体现了充要条件知识点与平面向量、函数等有关知识的联系，考查了学生的逻辑推理能力．1．给出如下三个命题：①若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是()A．①②③B．①②C．②③D．①③名师预测解析：选D.对于②，当ab＜0时，ba＜0，故②为假命题．2．命题“若a＜b，则a－1