15.5几何体的体积(3)--求体积的常用方法

15.5求体积的几种常用方法练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？CDAB问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式V四面体＝S△BCD·h31解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE求几何体体积的常用方法一、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．【例1】如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为.分析由于本题中多面体ABCDEF为非规则几何体，不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱．解析分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG=HF=.21,23HCBHGDAG由题意得.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS本题还可以这样来分割：取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP、PBCF和正四棱锥P—ABCD，也易于计算．点评二、补形法利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等．【例2】四面体S—ABC的三组对棱分别相等，且依次为25、13、5，求该四面体的体积．分析由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决．解析将四面体“补”成如图所示的长方体，使四面体对棱分别为长方体相对面的对角线．设长方体的三边分别为x，y，z，所以V四面体=V长方体-4VD—SAB=V长方体-4··V长方体=V长方体=8.,3,2,4,5,)13(,)52(222222222zyxxzzyyx解得则61311D1B1CADC1AB1、四面体的三组对棱分别相等，不妨设为a,b,cABCS2、四面体的四个面为全等的三角形，ABCS3、四面体的四个面为全等的锐角三角形。ABCS思考：四面体的三组对棱分别相等，是否一定能补形成一个长方体?从而求出其体积？ABCS222yxa222zyb222zxc222bca222cba222acbabcxyz锐角三角形且三边分别为a,b,c.SABC则：222ayx222bzy222czx)(212222bcax)(212222cbay)(212222acbz即：四个面均为锐角三角形要使x,y,z有解，222bca222cba222acb必须同时成立。已知：四面体的三组对棱分别相等，且分别为a,b,c求：这个四面体的体积。ABCS设长方体的长，宽，高分别为x,y,z求出x,y,zPACBPABCPACBPBCAABCPVVVV更位法三、等积转换法“等积转换法”是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．【例3】在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱A1B1、A1D1、A1A上的点，且满足A1M=A1B1，A1N=2ND1，A1P=A1A，如图，试求三棱锥A1—MNP的体积．2143分析若用公式V=Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，显然就容易解答了．解析31MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMA点评转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个理论依据，相应的方法叫等积法．ABCD1A1B1C1DE练习1：如图,在边长为a的正方体中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥的体积。1111DCBAABCD11DEBADASEBA1131aa22131361a解法分析：V=11DEBA11EBADV练习2、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，E是CC1的中点，求B1到平面EBD的距离A1ABB1CDC1D1E的体积求四棱锥上，在侧棱，点体积是的、三棱柱例'''36'''2AABBMCCMCBAABCB'BCAC'A'M2436323231'''’’’’’’’’’’’’CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVV解：B'BACA'C'MB'BCAC'A'M转移顶点法例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱形，连结EF，则解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV11111EDAFEFDAVV1111aSEDA1131EBAFEBFAVV11aSEBA131或者：11112EFDAEBFDAVVBB1CDAC1D1A1EF例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？1111111111112111FDCABFCBADCBAABCDEBFDAVVVVCA连接BB1CDAC1D1A1EF例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？解法分析：连接BD1，111111BFDAEBDAEBFDAVVV则当棱锥的体积公式无法直接使用时ShV31通过转移顶点法切割法补形法达到分散的转化为集中课堂小结复杂的转化为简单陌生的转化为熟悉小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明过程中充分揭示了三棱锥的独特性质：可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计算提供了新的思考方法。3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它可补成柱体，还可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化。