简单线性规划课件

课前探究学习课堂讲练互动了解线性规划的意义．了解线性规划问题中有关术语的含义．会求一些简单的线性规划问题．4.2简单线性规划【课标要求】【核心扫描】求目标函数的最值．(重点、难点)本节与直线的截距和斜率，与点到直线的距离，以及方程等知识联系密切．目标函数的最大值和最小值与其对应直线截距的关系．(易错点)1．2．3．1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动线性规划中的基本概念自学导引名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元_____不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式一次课前探究学习课堂讲练互动名称意义线性目标函数目标函数是关于x，y的_________解析式可行解满足线性约束条件的________可行域所有可行解组成的_____最优解使目标函数取得最大值或最小值的_______线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题二元一次解(x，y)可行解想一想：在线性约束条件下，最优解唯一吗？提示不一定，可能有一个或多个．集合课前探究学习课堂讲练互动求解线性规划问题的注意事项(1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程．(2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理．(3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个．(4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．名师点睛1．课前探究学习课堂讲练互动利用图解法解决线性规划问题的一般步骤(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后求出所有区域的交集．(2)令z＝0，作出一次函数ax＋by＝0.(3)求出最终结果．在可行域内平行移动一次函数ax＋by＝0，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．2．课前探究学习课堂讲练互动题型一求目标函数的最大值或最小值A．4B．3C．2D．1[思路探索]先根据约束条件作出可行域，再平移直线x－2y＝0找到最大值点，代入z＝x－2y可求出最大值．【例1】若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值为课前探究学习课堂讲练互动解作出可行域如图所示，把z＝x－2y变形为y＝x2－z2，得到斜率为12，在y轴上的截距为－z2，随z变化的一组平行直线．由图可知，当直线y＝x2－z2经过点A时，－z2最小，即z最大，解方程组x＋y＝0，x－y－2＝0，得A点坐标为(1，－1)，所以zmax＝1－2×(－1)＝3.答案B课前探究学习课堂讲练互动规律方法解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．课前探究学习课堂讲练互动解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，zmin＝2×1－4.4＝－2.4.【训练1】已知x，y满足x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z＝2x－y，求z的最大值和最小值．课前探究学习课堂讲练互动【例2】题型二非线性目标函数的最值问题已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的范围课前探究学习课堂讲练互动解作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝92.课前探究学习课堂讲练互动规律方法非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：(2)z＝2·y－－12x－－1表示可行域内任一点(x，y)与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，因为kQA＝74，kQB＝38，故z的范围为34，72.课前探究学习课堂讲练互动①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．课前探究学习课堂讲练互动审题指导这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率关系．【例3】题型三已知目标函数的最值求参数(本题满分12分)若实数x，y满足2x＋y－2≥0，y≤3，ax－y－a≤0，且x2＋y2的最大值为34，求正实数a的值．课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定)(3分)其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.(6分)又由于x2＋y2＝x2＋y22.且x2＋y2的最大值等于34，所以可行域中的点与原点的最大值距离等于34.解方程组2x＋y－2＝0，y＝3，得M的坐标为x＝－12，y＝3.课前探究学习课堂讲练互动解方程组ax－y－a＝0，y＝3，得P的坐标为x＝3a＋1，y＝3.(8分)又M－12，3.OM＝9＋14＜34.∴点P3a＋1，3到原点距离最大．(10分)∴3a＋12＋9＝34，解得a＝34.(12分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数的几何意义，看最值在什么位置取得．课前探究学习课堂讲练互动【训练3】已知变量x，y满足的约束条件为x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．解依据约束条件，画出可行域．∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－12，目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则须k1＞k2.即－12＞－a，得a＞12.课前探究学习课堂讲练互动数形结合的主要解题策略是：数⇒形⇒问题的解决；或：形⇒数⇒问题的解决．数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相对应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决．本节中利用线性规划解决实际问题是典型的数形结合问题．方法技巧数形结合思想课前探究学习课堂讲练互动在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(4,2)，(2,6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当w＝xy取到最大值时，点P的坐标是________．[思路分析]【示例】课前探究学习课堂讲练互动解点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为w＝xy表示矩形OP1PP2的面积，∴只要点P向右方或者向上方移动，矩形OP1PP2的面积就变大．由图可看出，只有点P在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使w＝xy最大，点P一定在线段BC上，∵B(4,2)，C(2,6)，∴线段BC的方程为y＝－2x＋10，x∈[2,4]，∴w＝xy＝x(10－2x)＝－2x－522＋252，x∈[2,4]，故当x＝52，y＝5时，w取到最大值．答案52，5课前探究学习课堂讲练互动方法点评本题把w＝xy转化为相应的矩形的面积是解题的关键，即把数的问题转化为形的问题来解决．实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现．