《推理与证明》知识点

《推理与证明》一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1用归纳推理发现规律1、观察：715211；5.516.5211；33193211；….对于任意正实数,ab，试写出使211ab成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22ba2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()fn表示第n幅图的蜂巢总数.则(4)f=_____;()fn=___________.推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构【解题思路】找出)1()(nfnf的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(fff37181261)4(f133)1(6181261)(2nnnnf【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.【解题思路】从方法的类比入手[解析]原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法，hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin[解析]ABC为锐角三角形，BABA22，xysin在)2,0(上是增函数，BBAcos)2sin(sin同理可得CBcossin，ACcossinCBACBAcoscoscossinsinsin考点2分析法已知0ba,求证baba[解析]要证baba，只需证22)()(baba即baabba2，只需证abb，即证ab显然ab成立，因此baba成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”考点3反证法已知)1(12)(axxaxfx，证明方程0)(xf没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设0x是0)(xf的负数根，则00x且10x且12000xxax112010000xxax，解得2210x，这与00x矛盾，故方程0)(xf没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k（𝑘∈𝑁+，且𝑘≥𝑛0）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（2k且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2时命题成立D.n=2（k+2）时命题成立[解析]因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式)(kf（3）从)1(kf和)(kf的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子考点2数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221nnn[解析]（1）当n=1时，左=√2，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即2)1(21)1(3221kkk则)2)(1()1(21)2)(1()1(32212kkkkkkk02)2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122kkkkkkkk2]1)1[(21)2)(1()1(3221kkkkk当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面