3 第二章 轴向拉伸和压缩(2)

第二章轴向拉伸和压缩§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2内力·截面法·及轴力图§2-3应力·拉(压)杆内的应力§2-4拉(压)杆的变形·胡克定律§2-5拉(压)杆内的应变能§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-7强度条件·安全因数·许用应力§2-8应力集中的概念2§2-4拉压杆的变形胡克定律一、拉压杆的变形及应变abcdxLFFd´a´c´b´xxdL131、杆的纵向总变形：3、平均线应变：1LLLLL2、线应变：单位长度的线变形。1LLL4、当沿杆长为非均匀变形时,x点处的纵向线应变：xxxdlim046、x点处的横向线应变：5、杆的横向变形：accaacacacFFd´a´c´b´xxdL1如果沿杆长均匀变形LLdd5二、拉压杆的弹性定律AFLLEALFEAFLLN1、等内力拉压杆的弹性定律2、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxFxNLNLxEAxxFxL)(d)()d(dniiiiNiAELFL1d3、内力在n段中分别为常量时※“E”称为弹性模量，是由实验测定的，表征材料抵抗弹性变形的能力．※“EA”称为杆的抗拉压刚度。FFN（x）xdxFN(x)dxx61)()(1)d(ExAxFEdxxN4、单向应力状态下的弹性定律1:E即5、泊松比（或横向变形系数）:或三、是谁首先提出弹性定律弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。2020/2/107例1：在图5-11所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA=10kN,FB=20kN,L=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为100mm2，200mm2，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变形；2）端面A与D-D截面间的相对位移。解：AB段与BC段的轴力1）杆的轴向变形ABDCFAFBDlll1010NABANBCABFFKNFFFKN82）端面A与D-D截面间的相对位移uAD333396965101010010101010010200101001020010200102.510NABNBCADABBDABBCFlFlLLLEAEAm例题2图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1)Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图(2)杆的最大正应力max(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力R=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR(1)Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图F1FN1)(kNNN200111FFFF2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR)(kNNN1502221FFFFRFN3)(kNNN50033FRFFN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR(2)杆的最大正应力maxAB段：DC段：BC段：FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR)(MPa.N817611AFAB)(MPa.N67422AFBC)(MPa.N511033AFDCmax=176.8MPa发生在AB段.(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRm102.53Δ4-N111EAlFlABm101.42Δ4-N222EAlFlBCm101.58Δ4-N333EAlFlCD-0.3mmΔΔBCCDBllumm10-0.47ΔΔΔΔ4-CDBCABADllll15C'1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量△Li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC求解时注意利用小变形条件，“以切代弧”。162、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系1L2LBuBvB'1LuB解：变形图如图，B点位移至B'点，由图知：sinctg21LLvBFABCL1L2FAFN1FN2x300yA1l1例题2图示三角形架AB和AC杆的弹性模量E=200GPa，A1=2172mm2，A2=2548mm2.求当F=130kN时节点的位移.2mABCF30012解(1)由平衡方程得两杆的轴力FFFFNN7321221.1杆受拉，2杆受压A2l2mm.Δmm.ΔNN765019812222211111EAlFlAAEAlFlAA(2)两杆的变形300AA1A2l1l2A'300AA3为所求A点的位移A1l12mABCF30012A2l2A30122230cosΔllAAAAAA01022323030sintgtg300llAAAAmm.)()(783232223AAAAAA2020/2/1019060sin6.12.18.060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例3：设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求钢索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXA2020/2/1020mm36.1m17736.766.155.11EATLLCPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'12CC3）变形图如左图,C点的垂直位移为：260sin60sin221DDBBLCmm79.060sin236.160sin2oL图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）例题补充1BbeacdAae.因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.B1C1DFCALLaB22刚杆例题补充21.已知εaLCDaLCDaLCDB222.已知EAEAaFLNCDCD0Am02LFFLNCDFFNCD2EAFaLCDB42NCDF图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移δB。例题补充3ADFBαaL/2L/2CB1C1C112CCBBB1CCcosCCcosCDL0AmCDFLLFcos21cos2FFNCDEALFLCDNCDCD2cos2EAaF3cos4EAFaBNCDF24§2－5拉(压)杆内的应变能一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存于杆内，这种能称为应变能（StrainEnergy）用“”表示。二、拉压杆的应变能计算：不计能量损耗时，外力功等于应变能。()(dd)NFxxxEA1d()d2NWFxx2()dWd2NFxxEA2()d2NLFxWxEA212niiNiiiFLWEA内力为分段常量时N（x）xdxFN(x)dxxWVV25三、拉压杆的比能：单位体积内的应变能。2()dd11d2d2122,NpVFxxWvVAxvEVvdV3应变能密度，单位J/m代入则计算出的应变能密度称回弹模量N（x）xdxFN(x)dxxdxxxddFN(x)FN(x)xd)(xFNv2020/2/1026kN55.113/PT解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABD为对象：060sin6.12.18.060sinooATPTm例:设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。800400400CPAB60°60°PABCDTTYAXA27EALTPC222mm79.036.76177206.155.1122PEALTCMPa1511036.7655.119AT（2)钢索的应力为：（3)C点位移为：800400400CPAB60°60°能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。外载看成缓慢加载本章作业2－1，2－2，2－6，2－7，2－112－12，2－13，2－14，2－16，2－17，2－21，2－5，