平行与垂直复习(公开课精华)

平行与垂直一、知识结构网络平行关系垂直关系平行与垂直的相互转化1.,//.abab2.,//.aabb3.,//.aa4.//,.aa5.//,.平面几何线线平行线面平行面面平行平面几何线线垂直线面垂直面面垂直平行与垂直的证明二、平行的判定与性质1.线线平行线面平行/.,,///ababa且若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.ab2.线面平行面面平行,,/////.,/ababPab且如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.abP判定定理判定定理平行与垂直的证明二、平行的判定与性质3.线线平行面面平行,,.,,////,//ababPababPaabb且且如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行.abPabP4.线面平行线线平行如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行..//,,//aabab且ab判定定理性质定理平行与垂直的证明二、平行的判定与性质5.面面平行线面平行//,//.a对任意的如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线必平行另一个平面.a6.面面平行线线平行//,,//.abab且如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.ba性质定理性质定理平行与垂直的证明三、垂直的判定与性质7.垂直线线线面垂直,.,,ababPllalb且如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.l8.垂直线面面面垂直.,aa且如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直.abP判定定理判定定理a平行与垂直的证明三、垂直的判定与性质9.垂直线线面面垂直.,,,,ababPllalb且且如果一个平面内的一条直线与另一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两个平面垂直.10.垂直线面线线垂直,.abab对任意的如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直.abP判定定理性质定理lab平行与垂直的证明三、垂直的判定与性质11.垂直面面线面垂直,,.laaal且如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直另一个平面.12.垂直面面线线垂直,,,,..laabalb且对任意的如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面内的所有直线垂直.性质定理性质定理ablal平行与垂直的证明四、平行与垂直的相互转化,//.ababab//,.abab14.如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.,//.aa13.垂直于同一平面的两直线平行.15.垂直于同一直线的两平面平行.baa平行与垂直的证明四、平行与垂直的相互转化//,.aa//,.16.如果一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面.17.如一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么该平面也垂直于另一个平面.aa//,////.abbcac平行公理://,.abbcac平行与垂直的证明五、三垂线定理及其逆定理,,.,,,aPOOPAAaAO为垂足如图已知:18.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.a三垂线定理.aPA求证:APO,,POa证明:,aPO,,aAOAOPOO又,aPOA平面,PAPOA平面又.aPA垂直于射影就垂直于斜线平行与垂直的证明五、三垂线定理及其逆定理,,.,,,aPOOPAAaPA为垂足如图已知:19.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.a三垂线定理的逆定理.aAO求证:APO垂直于斜线就垂直于射影,,POa证明:,aPO,,aPAPAPOP又,aPOA平面,AOPOA平面又.aAO你会用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角吗？平行与垂直的证明,,,.(1):;(2,/,/)1:..PABCDABCDPAABCDMCDNPBMNPADPABPBC已知四棱锥中底面点是的中例是正方形平面平面平点点是的面平面中点求证求证如图APBCDNMEF(1):证法1线线平行线面平行,://;PAEMNDE取的中点证(1)2:证法面面平行线面平行,://;ABFMNFPAD取的中点证平面平面(2):证法线面垂直面面垂直:.BCPAB证平面.BCABBCPA平行与垂直的证明11111111112.,2/2.(1):;(2):.,,,/ABCDABCDABCDOACBDBBMBDBMDACDOABC在如图的长方体中底面是边长为的正方形为与的交点是线段的平面平面中点求证例证求ABCDMO1A1B1C1D(1):证法1线线平行线面平行1://;BMDO证(1)2:证法面面平行线面平行111://;ABCDAC证平面平面(2):证法线线垂直线面垂直111:.DOACDOOB证11111:.DOACDOABAEAB或证E平行与垂直的证明11111111113.,,,.(1):;(,//2):.,,ABCDABCDMCCBCCDNAPMNMNPAPBD如图在正方体中是线段平面平面例分求证证别的中点求MPABCD1A1B1C1DN(1)1:证法线面垂直线线垂直111://,;MNADADADP证平面(1)2:证法三垂线定理111://,;MNADADAD证(2):证法线面平行面面平行111///:./MNPBCDABD平面平面平面证平行与垂直的证明45,3,4.,,,,,.(1):;(2).,,:3:1//,PABCACABPBPCBCPADEBCACPCPFFCPABCPCABGDEFFG如图在三棱锥中是的中点为上的一点且求证试在上确定一点使例别得平面平面分GFPABCDE,,PAABPAAC勾股定理;PAABCPABC平面(2):证法线线平行面面平行,GPC点为的中点,FGC则点为的中点://,//.DEABEFAG三角形的中位线证(1):证法线面垂直线线垂直//.ABGDEF平面平面平行与垂直的证明1111111111,,,,.(1):;(2):,,//.5.ABCABCABBCABBBEFABBCEFABCACAB如图在直三棱柱中已知设分别为的中点求证平面求证例DFABCE1A1B1C(1):证法1线线平行线面平行1,://;BCEFAC连证(1)2:证法面面平行线面平行://;DEFABC证平面平面(2):证法线面垂直线线垂直1,BBD取的中点111,:,ABABAB连证11,ABBC111111,ABABCACAB平面1111.ACABBA平面平行与垂直的证明,,,(1):;(2):.//45,6.,,,.12//PABCDABCDABDCABCPADCABPAABCDABPCDBCPAC如图已知四棱锥中底面是直角梯形求证平面平面平面求证例PABCDCBADE(1):证法线线平行线面平行://;ABCD证(2):证法线线垂直线面垂直,,:,ABCDACBC如图在直角梯形中证明,PAABCDPABC由平面,PAACA.BCPAD平面平行与垂直的证明,,,,,.(1):;(2):.//7.//4,2,,,PABCDABADBCADADPAABBCPAABCDEFPDPCCDPAFEBCAC平面例分平面如图在四棱锥中平面是的中点求证别求证EPABCDFCBADMOO(1):证法线线垂直线面垂直,,:,ABCDACCD如图在直角梯形中证明,PAABCDPACD由平面,PAACA;CDPAC平面(2):证法1线线平行线面平行://,//.BOFEBOFEBFOE证(2)2:证法面面平行线面平行://.BFNACE证平面平面,PAN取的中点N平行与垂直的证明11111114354,,,,,,.(1):;(2)://8..ABCABCAAACABBCDABACBCACCDB例如图在直三棱柱中点是的中点求证求证平面DABC1A1B1CO,ACBC勾股定理111;ACBCCBACBC平面(1):证法线面垂直线线垂直(2)1:证法线线平行线面平行1,://.ODACOD连证(2)2:证法面面平行线面平行111://.ACDCDB证平面平面111,ABD取的中点1D平行与垂直的证明1111111(,),.(1):;(2//):.9.ABCABCDACABBDCACBDC三棱柱的直观图及三视图正视图和俯视图是正方形侧视图是等腰直角三角形如图所示的中点求证平面求证平面为例ODABC1A1B1C侧视图俯视图22正视图21D1(1)1://;ABOD证法111(1)2://;ABDBDC证法平面平面111,ABCABC直三棱柱11(2)1:,BDACCA证法平面1,ACBD11:.ACBC再证11(2)2:.ACCD证法平几法平行与垂直的证明,.,2,1.(1//.10.):;(2):,FAABCDMABCDACEFABAEFAMBDEAMBDFF正方形和矩形平面的中点是线求证平面求证平段例面如图已知ODABCFEM(1):证法线线平行线面平行://;AMOE证(2):证法线线垂直线面垂直:,OEBD三垂线定理得:.OEOF勾股定理得.OEBDF平面//,AMOE.AMBDF平面平行与垂直的证明00045,9090.11,,,.2,(1):,;(2).11.DAABCABCBACADBCABDADBDCADBBCBDBCD如图在中把沿折起（如图）使求证平面平面若求三棱是边锥的上的高表面积例ABCD图2图1DCBA(1):证法线面垂直面面垂直:,ADBCD证平面(2):DABC三棱锥的表面积为,;ADBDADCD333.2DABCABDABCSSS平行与垂直的证明001,,,.2,2,:(1);12.60,9023.3,(2):.ABCDACACCDABDBDABDCACACBCD如图平面四边形关于直线对称把沿折起（如图）使二面角的余弦值等于对于图完成以下各小题求两点间的距离求证平面例OABCD图2图1DCBAO(1):,AOC定义法为二面角的平面角:2;AOCAC余弦定理解得0(2):90,ACO勾股定理得090,ACBACD.ACBCD平面