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2．4线性回归方程学习目标1.理解两个变量的相关关系的概念；2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系；3．会求线性回归方程．课堂互动讲练知能优化训练2．4线性回归方程课前自主学案课前自主学案温故夯基1．一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是多少？由于样本的方差为0，所以这组数每个数都相等，又中位数是a，所以它的平均数是a.2．你能想到哪些措施，可使用样本的数字特征估计总体的数字特征更合理？(1)改进抽样方法，使样本更具代表性．(2)适当增加样本容量．(3)剔除最大值、最小值，减少个别值对总体的影响．(4)多种数字特征综合应用．知新益能1．变量间常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用______表示，是一种________关系．(2)相关关系：变量之间有___________，但不能完全用_____来表达．2．散点图为了刻画两个变量之间的__________，常建立_______________，将表中数据构成的_____所表示的点在________标出，称这样的图为散点图．函数确定性一定的联系函数相关关系平面直角坐标系数对坐标系内3．回归直线方程(1)线性相关关系如果散点图中点的分布从整体上看大致在_____________，我们用直线__________拟合散点图中的这些点，像这样能用直线方程________近似表示的__________叫做线性相关关系．一条直线附近相关关系y^＝bx＋ay^＝bx＋a(2)线性回归方程设有n对观察数据如下：xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得_______时，就称方程_________为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为___________最小值回归直线．y^＝bx＋a(3)用回归直线进行数据拟合的一般步骤：①作出散点图，判断_____是否在_________附近．②如果散点在一条直线附近，用公式散点一条直线问题探究回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关系吗？提示：假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记x＝1n∑ni＝1xi，y＝1n∑ni＝1yi，则(x，y)为样本点的中心，回归直线一定过这一点，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心，类似地，对于双变量样本点而言，回归直线是样本点的中心．课堂互动讲练考点突破相关关系的判断确定性函数关系中的两个变量之间是一种确定关系，相关关系是一种非确定性关系；线性相关关系是相关关系的一种特殊情形，它也是一种不确定关系．下列各题中的两个变量：①正方体的体积与棱长；②自由落体运动的物体的下落距离与时间；③人的身高与体重；④球的体积与表面积；⑤家庭的收入与支出．其中具有相关关系的是________．【思路点拨】首先理解确定性函数关系与相关关系的区别是解题的关键，其次注意两个变量之间是否存在相关性，但不是确定性，是判断相关关系的依据．例1【解析】①正方体的体积V与棱长a之间的关系是V＝a3，是确定性函数关系；②自由落体运动的物体的下落距离s与时间t之间的关系是s＝12gt2，是确定性函数关系；③人的身高与体重具有一定的相关性，一般地身高越高，体重越大，但关系不确定，是相关关系；④球的体积V与表面积S是函数关系，因为V＝43πR3，S＝4πR2，R＝S4π，所以V＝43π(S4π)3＝16π12·S32；⑤家庭的收入与支出是相关关系，一般地家庭收入越高，支出越大，但没有确定的函数关系．【答案】③⑤【名师点评】(1)理解相关关系与确定性函数关系之间的区别和联系是解答此类题目的关键．(2)两个变量之间具有确定的关系，则是函数关系；两个变量之间的关系具有随机性、不确定性，则是相关关系．自我挑战1下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是________．①角度与它的余弦值②正方形的边长和面积③正n边形的边数和顶点角度之和④人的年龄和身高解析：因为①、②、③都是确定性关系，都是函数关系，而④是非确定性关系，故选④.答案：④(1)作散点图时，可以类似于画函数图象的第一步，即用描点的方法．(2)根据散点图直观的判断两个变量是否具有相关关系．以下是在某城市搜集到的不同楼盘房屋的售价y(单位：万元)与房屋面积x(单位：m2)的数据：散点图的画法及应用例2x(m2)80105110115135y(万元)19.42221.624.829.2(1)画出数据对应的散点图；(2)判断房屋售价与房屋面积之间是否具有相关关系？【思路点拨】先建立平面直角坐标系，再描点作出散点图，再根据散点图进行判断．【解】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)观察散点图可以判断，房屋的售价与房屋面积之间具有相关关系．【名师点评】判断变量间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图．自我挑战2某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如表对应数据：(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系．x10151720252832y11.31.822.62.73.3解：(1)散点图如下：(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．据最小二乘法公式，用待定系数法求出a、b，从而确定回归直线方程．(本题满分14分)5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：求回归直线方程例3学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．【思路点拨】作散点图→判断→求a，b→回归方程【规范解答】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．4分由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关.6分列表，计算i12345xi8075706560yi7066686462xiyi56004950476041603720x2i64005625490042253600x＝70，y＝66，∑5i＝1x2i＝24750，∑5i＝1xiyi＝2319010分设所求回归方程为y^＝bx＋a，则由上表可得b＝∑5i＝1xiyi－5x－y－∑5i＝1x2i－5x2＝925＝0.36，a＝y－bx－＝40.8.12分∴所求回归方程为y^＝0.36x＋40.8.14分【名师点评】(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．(2)求线性回归方程，关键在于正确地求出a，b，由于a，b的计算量大，计算时要仔细，避免计算失误．自我挑战3下表提供了某厂节能降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)解：(1)散点图如图：(2)∑4i＝1xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i＝1x2i＝32＋42＋52＋62＝86，b＝∑4i＝1xiyi－4xy∑4i＝1x2i－4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35.故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．方法感悟1．判断相关关系的基本程序是两个变量⇒一个变量的值一定⇒另一个变量带有不确定性⇒相关关系2．散点图形象地体现了各对数据的密切程度，因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有线性关系．从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势．3．线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可能导致预测结果的偏差．即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预测值y^能够与实际值y很接近，我们不能保证点(x，y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y＝bx＋a＋e＝y^＋e，这里e是随机变量，预测值y^与实际值y的接近程度是由随机变量e的标准差所决定的．知能优化训练本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用