第14讲 麦克斯韦方程组(II)

电磁场与电磁波主讲：史琰FieldandWaveElectromagneticsMaxwell通过深入的分析，研究并创新地提出了位移电流，最后完成电磁大综合，而且预言了电磁波的存在，其速度为光速c，给出了光和电磁统一学说：Maxwell方程组。ReviewDBtBEtDJH0微分形式VSSlSlSvdsdnDsdnBsdtBldEsdtDJldHˆ0ˆ积分形式全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯定理2020/2/[e-mail]2ReviewSliSdtBldEiEtB左旋SLdSdtDldHdHtD右旋“平衡”电磁波也正是这种“平衡”的产物2020/2/[e-mail]3麦克斯韦小传麦克斯韦(JamesClerkMaxwell1831～1879)英国物理学家16岁进入爱丁堡大学，后转入剑桥大学研习数学，毕业后留校任职。1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室，1874年建成后担任主任。1879年11月5日在剑桥逝世，终年只有49岁。2020/2/[e-mail]4爱因斯坦在自传中说：“在我求学的时代，最吸引人的题目就是麦克斯韦的理论”，“狭义相对论起源于麦克斯韦的电磁场方程”。1931年，在纪念麦克斯韦诞生100周年时，爱因斯坦把麦克斯韦的电磁场贡献评价为“自牛顿时代”以来物理学所经历的最深刻最有成效的变化。”一位著名的现代物理学家曾感叹说：“麦克斯韦的思想是太不平常了，甚至像亥姆霍兹和波耳兹曼这样有异常才能的人，为了理解它，也花了几年的力气。”第16讲麦克斯韦方程组(II)2020/2/[e-mail]5Maxwell方程组的逻辑关系本构关系时变电磁场的边界条件坡印亭能量定理电磁位Maxwell方程组的逻辑关系麦克斯韦方程组并非相互独立的四个方程只有三个独立的方程BEt0B()0Bt0()()BEt2020/2/[e-mail]6Maxwell方程组的逻辑关系麦克斯韦方程组的两个旋度方程以及电流连续性方程可构成时变电磁场一组独立的方程，该组方程中共含有七个独立的标量方程。DHJt0()()DHJt()0JDtJtD2020/2/[e-mail]7Maxwell方程组的逻辑关系DHJt0()()DHJt()0JDtJtD2020/2/[e-mail]8麦克斯韦方程是描述电磁普遍规律的数学描述，已被证明适用于任何情况的电流连续性方程亦可通过Maxwell方程得到(电流连续性方程隐含在麦克斯韦方程组中)。场源J和ρ之间不是互相独立。在实际工程中，通常采用给定场源J的条件下求解电磁场。Maxwell方程组的逻辑关系例1已知在无源的自由空间中其中E0、β为常数，求。[解]区域无源，即所研究区域内没有场源电流和电荷：J=0,ρ=000sin()yHEtzt0ˆcos()xEaEtz0ˆˆˆ00xyzxaaaHExyztE00ˆsinˆˆˆ()yxxyyzzaEtzaHaHaHt00xzHH00ˆcos()yEHatzH2020/2/[e-mail]9本构关系2020/2/[e-mail]10麦克斯韦方程组中含有5个矢量，1个标量，即一共16个标量独立的标量方程只有7个麦克斯韦方程无法完全确定四个电磁场矢量需要另有9个独立的标量方程来约束电磁场本构方程描述电磁介质与场矢量之间的本构(constitutive)关系本构方程与麦克斯韦方程构成自身一致的方程组本构关系表征媒质宏观电磁特性的本构关系为对于各向同性的线性媒质00()DEPBHMJEDEBHJE2020/2/[e-mail]11本构关系2020/2/[e-mail]12ε：介电常数μ：磁导率σ：电导率•σ=0为理想介质；•σ=∞为理想导体；•电导率介于二者之间称为电介质；真空中：ε=ε0，μ=μ0，σ=0介质性质：•线性(linear)介质：介质参数与场强大小无关•各向同性(isotropic)介质：介质参数与场强方向无关•均匀(homogeneous)介质：介质参数与位置无关•色散(dispersive)介质：介质参数与场强频率有关本构关系2020/2/[e-mail]13对于色散媒质，当一个包含多个频率的信号在其中传播时，由于不同频率信号的传播速度不相同，从而引起信号的失真。0000000000*()()()*()()etemtmDEPEEEtEdBHMHHHtHd洛仑兹力()FqEvB()fEvBEJB2020/2/[e-mail]14电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q所受的力为如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电磁场力密度为•洛仑兹力公式•近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。时变电磁场边界条件2020/2/[e-mail]15麦克斯韦方程组的微分形式只适用于场矢量的各个分量处处可微的区域对于实际的区域，会有很多结构引起电磁场场量的不连续性，需要通过边界条件来确定分界面上的电磁场特性：•不同介质的分界面上会存在束缚面电荷、面电流•分界面上也可能存在自由面电荷、面电流•在这些面电荷、面电流的影响下，场矢量在分界面可能不连续边界条件是描述场矢量越过分界面时场量变化规律的一组方程，由积分方程形式的麦克斯韦方程组得到。时变电磁场边界条件矢量分解(I)•取界面法向单位矢为n•该点处场矢为FF可以是任意一个场矢(E,D,H,B)第一项在法向方向，称为法向分量第二项垂直于法向方向，称为切向分量任意一个矢量都可以分解成为法向分量和切向分量的合成矢量ˆˆˆˆˆˆ()()()nnFnnFFnnˆˆˆˆˆˆ()()ntFnnFnnFFnFt2020/2/[e-mail]16时变电磁场边界条件AFtntnAAA()()tntntnAAFFtnFFF()()()()ttntntnttnntnAAAAFFttntnnttAFAAF2020/2/[e-mail]17矢量分解(II)时变电磁场边界条件nF1F2△Sh2020/2/[e-mail]18法向分量边界条件•两种相邻介质分界面的任一横截面时变电磁场边界条件电场法向边界条件•电通量•如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为•由高斯定理1221ˆˆˆ()()SDdSDSnDnSDDnSVShSShdVQ0lim21ˆ()SnDD21nnSDD2020/2/[e-mail]19时变电磁场边界条件若分界面上无自由面电荷•分界面上有自由面电荷，电位移矢量D法向分量Dn不连续，有一等于面电荷密度ρS的突变；•分界面上无自由面电荷，则电位移矢量D法向分量Dn连续；•分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En一般不连续。nnDD21nnEE22112020/2/[e-mail]20时变电磁场边界条件磁场法向边界条件•由磁通连续性原理•由本构关系可知21ˆ()0nBBnnBB21nnHH22112020/2/[e-mail]21时变电磁场边界条件切向分量边界条件•n：由媒质2指向媒质1的界面法向单位矢量•l：Δl中点处分界面的切向单位矢量•b：垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量μ1ε1σ1μ2ε2σ2nblh△lˆˆˆlbn2020/2/[e-mail]22时变电磁场边界条件电场切向边界条件•考虑麦克斯韦方程组推广的法拉第电磁感应定律积分回路上的积分结果面积分结果•切向边界条件LSBEdldst12212121ˆˆˆ()()ˆˆˆˆ()()lEdlEllElllEElbnEElbnEEl0ˆlim0ShBBdsbhltt21ˆ()0nEE2020/2/[e-mail]23时变电磁场边界条件磁场切向边界条件•考虑麦克斯韦全电流定律：积分回路上的积分结果位移电流积分结果()LSDHdlJdst12212121ˆˆˆ()()ˆˆˆˆ()()lHdlHllHlllHHlbnHHlbnHHl0ˆlim0ShDDdsbhltt2020/2/[e-mail]24时变电磁场边界条件•若分界面的薄层内有自由电流，则在回路所围的面积上因此切向边界条件•面电流密度方向为分界面的切向标量形式的边界条件：0limSShJdSJbhlJbl21ˆˆ()SbnHHlbJl21ˆ()SnHHJ12ttSHHJ2020/2/[e-mail]25时变电磁场边界条件若分界面上没有自由面电流•分界面上有自由面电流时，磁场强度切向分量不连续•分界面上无自由面电流时，磁场强度切向分量连续•磁感应强度的切向分量一般不连续12ttHH2211ttBB2020/2/[e-mail]26时变电磁场边界条件时变电磁场的边界条件：21212121ˆ0ˆˆˆ0SsnEEnDDnHHJnBB2020/2/[e-mail]27时变电磁场边界条件理想介质的边界条件•理想介质：σ=0•无欧姆损耗的简单介质•理想介质表面无自由面电荷和自由面电流12121212ˆ()0ˆ()0ˆ()0ˆ()0nHHnEEnBBnDD矢量形式的边界条件121212120000ttttnnnnHHEEBBDD标量形式的边界条件nˆ11,22,2020/2/[e-mail]28时变电磁场边界条件理想导体边界条件•理