第三章 灰色关联分析模型

第三章灰色关联分析模型南京航空航天大学灰色系统研究所第三章灰色关联分析2什么是灰色关联度?为什么要提出灰色关联度?灰色关联分析的主要研究内容有哪些?与其他分析方法有何不同之处?灰色关联分析有哪些最新进展?问题第三章灰色关联分析33.1–灰色关联因素和关联算子集3.2–灰色关联公理和灰色关联度3.3–广义灰色关联度3.4–关联序3.5–优势分析本章结构第三章灰色关联分析4灰关联分析的基本思想：根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾。它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。引言第三章灰色关联分析5引言图3.0.1BACK案例分析第三章灰色关联分析6灰色关联因素和关联算子集第一节第三章灰色关联分析71.关联因素行为时间序列行为指标序列行为横向序列2.关联算子初值化算子均值化算子区间值化算子逆化算子倒数化算子3.1灰色关联因素和关联算子集BACK第三章灰色关联分析8iX行为序列设为系统因素，其在序号上的观测数据为，，则称为因素的行为序列；k)(kxink,,2,1))(,),2(),1((nxxxXiiii行为时间序列若为时间序号，为因素在时刻的观测数据则称为因素的行为时间序列；k)(kxiiXk))(,),2(),1((nxxxXiiiiiX3.1灰色关联因素和关联算子集BACK灰色关联因素第三章灰色关联分析93.1.1灰色关联因素BACK灰色关联因素行为指标序列若k为指标序号，)(kxi为因素iX关于第k个指标的观测数据，则称))(,),2(),1((nxxxXiiii为因素iX的行为指标序列；行为横向序列若k为观测对象序号，)(kxi为因素iX关于第k个对象的观测数据，则称))(,),2(),1((nxxxXiiii为因素iX的行为横向序列。第三章灰色关联分析10原始数据57101213初值像11.422.42.63.1.2关联算子集--初值化算子初值化算子BACK)1(/)()(1iiixkxdkx0)1(ixnk,,2,1))(,),2(),1((nxxxXiiii))(,,)2(,)1((1111dnxdxdxDXiiii第三章灰色关联分析11原始数据3671113均值像0.3750.750.8751.3751.6253.1.2关联算子集--均值化算子均值化算子BACK))(,),2(),1((nxxxXiiii))(,,)2(,)1((2222dnxdxdxDXiiiiiiiXkxdkx)()(2nkiikxnX1)(1nk,,2,1第三章灰色关联分析12原始数据3671113区间值像00.30.40.81max()13,min()3iikkxkxk3.1.2关联算子集--区间值化算子区间值化算子BACK))(,),2(),1((nxxxXiiii))(,,)2(,)1((3333dnxdxdxDXiiii)(min)(max)(min)()(3kxkxkxkxdkxikikikiink,,2,1第三章灰色关联分析13原始数据0.30.40.60.50.7逆化像0.70.60.40.50.33.1.2关联算子集--逆化算子逆化算子BACK))(,),2(),1((nxxxXiiii]1,0[)(kxi))(,,)2(,)1((4444dnxdxdxDXiiii)(1)(4kxdkxiink,,2,1第三章灰色关联分析14原始数据245810倒数化像0.50.250.20.1250.13.1.2关联算子集--倒数化算子倒数化算子BACK))(,,)2(,)1((5555dnxdxdxDXiiii))(,),2(),1((nxxxXiiii)(/1)(5kxdkxii0)(kxink,,2,1第三章灰色关联分析15初值化算子关联因子空间均值化算子区间值化算子逆化算子倒数化算子关联算子集3.1.2关联算子集BACK关联因子空间第三章灰色关联分析16灰色关联公理与灰色关联度第二节BACK第三章灰色关联分析173.2灰色关联公理与灰色关联度BACK灰色关联四公理定义3.2.1设))(,),2(),1((0000nxxxX为系统特征行为序列，且))(,),2(),1((1111nxxxX..............................................))(,),2(),1((nxxxXiiii..............................................))(,),2(),1((nxxxXmmmm为相关因素序列。给定实数))(),((0kxkxi，若实数nkiikxkxnXX100))(),((1),(满足以下四个条件第三章灰色关联分析183.2灰色关联公理与灰色关联度BACK灰色关联四公理第三章灰色关联分析193.2灰色关联公理与灰色关联度灰色关联度BACK灰色关联度设系统行为序列))(,),2(),1((0000nxxxX))(,),2(),1((1111nxxxX..............................................))(,),2(),1((nxxxXiiii..............................................))(,),2(),1((nxxxXmmmm对于)1,0(，令|)()(|maxmax|)()(||)()(|maxmax|)()(|minmin))(),((00000kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiikiinkiikxkxnXX100))(),((1),(则),(0iXX满足灰色关联四公理，其中称为分辨系数。),(0iXX称为0X与iX的灰色关联度。第三章灰色关联分析203.2灰色关联公理与灰色关联度BACK灰色关联度的计算步骤第三章灰色关联分析213.2灰色关联公理与灰色关联度BACK实例分析第三章灰色关联分析223.2灰色关联公理与灰色关联度BACK实例分析第三章灰色关联分析233.2灰色关联公理与灰色关联度BACK实例分析第三章灰色关联分析243.2灰色关联公理与灰色关联度BACK实例分析第三章灰色关联分析25广义关联度第三节第三章灰色关联分析26①灰色绝对关联度②灰色相对关联度③灰色综合关联度④灰色相似关联度第三节广义关联度BACK5灰色接近关联度第三章灰色关联分析273.3.1灰色绝对关联度BACK预备知识第三章灰色关联分析283.3.1灰色绝对关联度BACK12n()ixk值k(b)单调衰减序列12n()ixk值k(c)振荡序列12n()ixk值k(a)单调增长序列图3.3.1预备知识第三章灰色关联分析293.3.1灰色绝对关联度BACK始点零化算子定义3.3.1设系统行为序列D为序列算子则称D为始点零化算子，记为))(,),2(),1((nxxxXiiii))(,,)2(,)1((dnxdxdxDXiiii)1()()(iiixkxdkxnk,,2,1))(,),2(),1((0000nxxxXDXiiiii第三章灰色关联分析303.3.1灰色绝对关联度BACK始点零化算子第三章灰色关联分析313.3.1灰色绝对关联度BACK始点零化算子第三章灰色关联分析323.3.1灰色绝对关联度BACK序列长度定义3.3.2称序列各个观测数据间时距之和为序列的长度。需注意两个长度相同的序列中观测数据个数不一定一样多，例如下列3个序列的长度都是5，但数据个数不同。iXiX))6(),3(),1((1111xxxX))6(),5(),3(),1((22222xxxxX))6(),5(),4(),3(),2(),1((3333333xxxxxxX第三章灰色关联分析333.3.1灰色绝对关联度BACK灰色绝对关联度（定义3.3.3）性质灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。||||||1||||10000ssssssiiii第三章灰色关联分析343.3.1灰色绝对关联度BACK等时距序列等时距序列若序列X各对相邻观测数据间时距相同，则称X为等时距序列。设X为等时距序列，若其时距1l，则时间轴TTt:ltt/可将X化为1－时距序列。第三章灰色关联分析35命题3.3.3设序列与的长度相同，令其中为常数，设为与的灰色绝对关联度，则即平移变换不改变灰色绝对关联度的值。3.3.1灰色绝对关联度0XiX,0'0aXXbXXii'ba,'0i'0X'iXii0'0第三章灰色关联分析36引理3.3.1设为等时距序列，若其时距，则时间坐标变换可将X化为1时距序列。3.3.1灰色绝对关联度1时距化X1lTTt:ltt/第三章灰色关联分析383.3.1灰色绝对关联度BACK灰色绝对关联度的计算第三章灰色关联分析393.3.1灰色绝对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析403.3.1灰色绝对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析413.3.1灰色绝对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析423.3.1灰色绝对关联度BACK灰色绝对关联度性质定理3.3.3灰色绝对关联度i0具有下列性质：（1）100i；（2）i0只与0X和iX的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，或者说，平移不改变绝对关联度的值；（3）任何两个序列都不是绝对无关的，即i0恒不为零；（4）0X与iX几何上相似程度越大，i0越大；（5）0X与iX平行，或0iX围绕00X摆动，且0iX位于00X之上部分的面积与0iX位于00X之下部分的面积相等时，10i；（6）当0X或iX中任一观测数据变化时，i0将随之变化；（7）0X与iX长度变化，i0亦变；（8）100ii（9）00ii。第三章灰色关联分析433.3.1灰色绝对关联度BACK灰色相对关联度设序列0X，iX长度相同，且初值皆不等于零，'0X，'iX分别为0X，iX的初值像，则称'0X与'iX的灰色绝对关联度为0X与iX的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为ir0。灰色相对关联度是序列0X与iX相对于始点的变化速率之联系的表征，0X与iX的变化速率越接近，ir0越大，反之就越小。灰色相关关联度性质灰色相对关联度是序列与相对于始点的变化速率之联系的表征。二者变化速率越接近，相对关联度越大；反之就越小。0XiX第三章灰色关联分析443.3.2灰色相对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析453.3.2灰色相对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析463.3.2灰色相对关联度BACK算例分析第三章灰色关联分析473.3.2灰色相对关联度BACK灰色相对关联度性质定理3.3.4灰色相对关联度ir0具有下列性质：（1）100ir；（2）ir0只与序列0X和iX的相对于始点的变化速率有关，而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相对关联度的值；（3）任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即ir0恒不为零；（4）0X与iX相对于始点的变化速率越趋于一致，ir0越大；（5）0X与iX相对于始点的变化速率相同，即iaXX0；或0X与iX的初值像的始点零像化像0'iX，0'0X满足：0'iX围绕0'0X摆动，且0'iX位于0'0X之上部分的面积与0'iX位于0'0X之下部分的面积相等时，10ir；（6）当0X或iX中任一观测数据变化时，ir0将随之变化；（7）0X与iX序列长度变化，ir0亦变；（8）100iirr（9）00iirr。第三章灰色关联分析483.3.3灰色综合关联度BACK