信号与系统-郑君里_第三章

第3章连续信号与系统的频域分析引言周期信号的频谱——傅立叶级数非周期信号的频谱——傅立叶变换傅立叶变换的性质傅立叶分析的应用举例利用MATLAB进行系统的频域分析引言3.1周期信号的频谱——傅立叶级数3.1.1三角函数式傅立叶级数若周期函数)(tf(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点(2)在任意周期内存在有限个的极值点；(3)在任意周期上是绝对可积的，即满足狄里赫利条件:dttfTtt)(00可以展开为三角形式的傅立叶级数，为)sincos(2sinsin2coscos)(0010020102010tnbtnaatbtbtataatfnnn式中,dttfTaTtt)(1000tdtntfTbtdtntfTaTttnTttn00sin)(2cos)(20000•式中，ω0=2π/T是基波角频率，有时也简称基波频率。一般取t0=-T/2。••利用三角函数的边角关系，还可以将一般三角形式化为标准的三角形式)cos()sinsincos(cossincos)sincos()(010001002202222100010nnnnnnnnnnnnnnnnnnntncctntncatbabtbaabaatbtaatf•两种三角形式系数的关系为nnnnnnnnnnnnnnnnnnnncbcabaabababbaccasin,coscos,sinarctan,,22222200•例1已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。tttttf00003sin21sin2)452cos(cos21)(解将f(t)整理为标准形式)23cos(21)452cos()4cos(21)23cos(21)452cos()4cos(21)(000000tttttttf振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。图3.1-1例3.1-1(a)振幅图；(b)相位图0211cn000n0004π4π2π－－(a)(b)210•3.1.2指数形式的傅里叶级数0000sincos)(21sin)(21cos00000njneeejneenjnjnjnjnjn•利用欧拉公式•我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数nnnnnnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnnjtjnnntnjtnjnnnnneeceecceeceecceeceecceecctncctf000000002222222)cos()(110110110)()(10010•令c0=F0代入上式，并将两个和式合并得到tjnnntjnnjtjnnneFenFeectfn000)(2)(0这样f(t)指数形式为tjnntjnnFeenFtf00)()(0•其中系数ntjnTttTttnnnnntjTttFdtetfdttnjtntfTjbajcdtetfTnF00000000)(21)sin)(cos(1)(21)sin(cos21)(1)(000•F(nω0)是复常数，通常简写为Fn。Fn还可以表示成模和幅角的形式njnneFF(3.1-12)三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数形式中，Fn要与相对应的第-n项F-n合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。•指数形式与三角形式系数之间的关系为nnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnjnnbFjFFjaFFFabFcFecjbaFecjbaeFFcaFnnnIm2)(Re2arctan2121)(2121)(21000•例1的指数形式频谱图如下图所示。例1(a)振幅图；(b)相位图0000－0－0－021c22c23cnFn2π4π4π2π－4π－4π－－0－0－0000(a)(b)0121413.1.3傅立叶级数的存在性傅立叶认为所有的周期信号都可以表示成正弦信号或者复指数信号形式，但是这些周期信号必须满足一定的条件。这个条件是：在一个周期内，信号的变差是有界的。这一条件也就是上文所述的狄里赫利条件。3.1.4傅里叶级数的性质1.线性性质2．对称特性)(tf)()(tftf（1）偶对称。若是关于纵轴对称的偶函数，即，则其傅立叶系数有如下关系：)(tf()()ftft=--（2）奇对称。若是关于原点对称的奇函数，即，则其傅立叶系数有如下关系：3．时移特性傅立叶级数的时移特性说明，傅立叶级数的幅度只与信号的形状有关，而与信号在时间轴上的位置无关。即信号的超前或滞后只会影响傅立叶系数的相角，而不会改变其幅度。4．尺度变换特性)()(0nFtf)()(0nGatf设000a信号进行时间尺度变换后，其各次谐波的傅立叶系数保持不变，但基波频率要从变为。5．时域微分特性3.2非周期信号的频谱——傅里叶变换•3.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换•若将非周期信号看作是周期信号T→∞的极限情况，非周期信号就可以表示为)()(limtftfTT•以周期矩形脉冲为例，当T→∞时，周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。随着T的增大，离散谱线间隔ω0就变窄；当T→∞，ω0→0，|Fn|→0时，离散谱就变成了连续谱。虽然|Fn|→0，但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对关系，我们引入频谱密度函数。•已知周期函数的傅里叶级数为tjnnnTeFtf0)(式中,dtetfTnFFtjnTTn0)(1)(2/2/0对上式两边取极限，并乘以T，使Fn不为零，得到dtetfTFtjnTTTTnT0)(limlim2/2/)(0)()()(21)()(21)()(2)()(1)()()(0000jtjtjtjTtjntjnTnTtjntjnTnTtjeFjFdejFtfdedtetftfedtetftfedtetfTtfdtetfjF(3.2-1)(3.2-2)•式中,|F(ω)|是振幅谱密度函数，简称振幅谱；φ(ω)是相位谱密度函数，简称相位谱。一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫做傅里叶变换对，其中式(3.2-1)为傅里叶变换，式(3.2-2)为傅里叶反变换。傅里叶变换对关系也常用下述符号表示)()()]([)()]([)(1jFtfFFtftfFjF或•傅里叶变换也简称傅氏变换，用英文缩写FT或F表示；傅里叶反变换用英文缩写IFT或F-1表示。若f(t)为因果信号，则傅里叶变换式为dtetfjFtj)()(0反变换同式(3.2-2)。•上式表示F(jω)与f(t)具有一一对应关系，F(jω)是f(t)的频谱密度函数，而f(t)是F(jω)的原函数。•特别有dFfdttfF)(21)0()()0(•由傅里叶变换的推导过程表明，信号傅里叶变换存在的条件与傅氏级数存在条件基本相同，不同之处是时间范围由一个周期变为无限区间。傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积，即dttf)(信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱F(ω)是同一信号的两种不同的表现形式。不过，f(t)显示了时间信息而隐藏了频率信息；F(ω)显示了频率信息而隐藏了时间信息。3.2.2傅立叶变换的存在性3.2.3常用函数的傅里叶变换对•1.单边指数函数•(1)单边因果指数函数•ajtjajatjatateajajaedtedtetueFatuetfarctan220)()(11|)()(0)()(即aajFjaFarctan)(1)(1)(22单边因果指数函数的波形f(t)、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图所示。图3.3-1单边指数函数的f(t),振幅谱、相位谱f(t)＝e－atu(t)0t0aa1)(Fa212π2π－0()•（2）单边非因果指数函数ajtjatjatjatateajajaedtedtetueFatuetfarctan220)()(011|)()(0)()(即aajFjaFarctan)(1)(1)(22单边非因果指数函数的波形f(t)、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图3.3-2所示。图eatu(-t)波形及其振幅、相位谱f(t)＝eatu(－t)0t0aa1)(Fa212π2π－()0•2.双边指数函数•f(t)=e-a|t|-∞t∞,a0•或f(t)=eatu(-t)+e-atu(t)•利用以上单边指数函数的变换结果我们有0)()(2)(211)(2222FaaFaajajaF即双边指数函数的波形f(t)、频谱F(jω)如图所示。图双边指数函数的波形、频谱00f(t)e－atu(t)eatu(－t)a1a2at)()(FF＝•3.符号函数•符号函数也称正负函数，记为sgn(t)，表示式为0011)()(sgntttutut显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求。我们可用以下极限形式表示sngt函数)]()([limsgnlimsgn00tuetuettatatataa•上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，并取极限可得002/2/)(2)(211lim)(0FjjajaFa符号函数的波形f(t)、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图所示。图符号函数的波形f(t)及其振幅、相位谱0sgnt1－1t00)(F2π2π－()•4.矩形脉冲信号gτ(t)•gτ(t)是宽度为τ，幅度为1的偶函数，常常也被称为门函数，表示式为22/)2/sin(2sin2)()()()2()2()(2/2/SadtedtetgFtgtututftjtj•门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱为)1(4)12(2)12(20)(2)(2)(nnnnSaFSaF•门函数的波形f(t)、振幅谱|F(jω)|、相位谱φ(ω)如图所示。图gτ(t)的波形及振幅、相位谱001)(Fπ4π2π2π4－－22－f(t)t……0－()π4π2－π4－π2•由于F(ω)是实函数，其相位谱只有0、π两种情况，反映在F(ω)上是正、负的变化,因此其振幅、相位谱如图3.3-6所示,可由F(ω)来表示。图3.3-6gτ(t)的频谱函数0π2