数学函数单调性

一天24小时内气温随时间变化曲线图能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yxxyo2yx在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性此起彼伏每况愈下蒸蒸日上函数的单调性回顾我们初中学过的函数xyOxyOxyO22)(xxf32)(2xxxfxxf1)(-1例1：画出下列函数的图象（1）y=xxyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=xxyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；xyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy=xO11··例1：画出下列函数的图象（1）y=x此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间y随x的增大而减小；x1f(x1)（-∞,+∞）（2）y=x2例1：画出下列函数的图象Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。x1f(x1)Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy=x2（2）y=x2例1：画出下列函数的图象1·1·此函数在区间内y随x的增大而增大，在区间内y随x的增大而减小。f(x1)x1（-∞,0][0,+∞)0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····在区间I内在区间I内图象y=f(x)y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1＜x2时，f(x1)f(x2)y随x的增大而减小当x1＜x2时，f(x1)f(x2)对区间I内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxIy区间I内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间I内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI．如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调增函数，D称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间D上是单调减函数，D称为y＝f(x)的单调减区间．若函数y＝f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．1、单调增函数与单调减函数区间D任意当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)2、单调性、单调区间如果函数f（x）：在（1,2）上单调递增，在[2,3)也单调递增，那么函数在（1,3）上是否一定单调递增？例、下图为函数，的图像，指出它的单调区间。[4,7]xy=fx123-2-3-2-11234567xo-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6][-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]解：单调增区间为单调减区间为Attention！！多个单调区间之间，不要轻易用∪！用逗号“，”即可！！！22)(xxf证明：函数在R上是单调减函数．证：在R上任意取两个值，且，21,xx21xx∵21xx,021xx0)(221xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf∴∴即∴22)(xxf在R上是单调减函数．取值作差变形定号下结论例2)()(21xfxf则)22()22(21xx)(221xx证明：函数在区间(－1，＋∞）上是单调增函数．证：在区间(－1，＋∞）上任意取两个值，且，21,xx21xx32)(2xxxf∴在区间（－1，＋∞）上是单调增函数．32)(2xxxf211xx,021xx0221xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf∴即∴∵取值作差变形定号)32()32()()(22212121xxxxxfxf)2)((2121xxxx)(2))((212121xxxxxx则下结论例3证：在区间（－∞，0）上任意取两个值，且，21,xx21xx∵021xx,012xx021xx,0)()(21xfxf).()(21xfxf∴即∴证明：函数在区间（－∞，0）上是单调减函数．xxf1)(∴在区间（－∞，0）上是单调减函数．xxf1)(取值作差变形定号212111)()(xxxfxf2112xxxx则下结论例4例5试判断函数y=x2+x在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数y=x2+x在（0，＋∞）上是增函数下面给予证明：设x1，x2为区间(0,＋∞)上的任意两个值，且x1x2，则f(x1)–f(x2)=(x12+x1)–(x22+x2)=(x12–x22)+(x1–x2)又x2＞x1＞0，所以函数y=x2+x在（0，＋∞）上是增函数=(x1–x2)(x1+x2)+(x1–x2)=(x1–x2)(x1+x2+1)所以x1–x20，x1+x2+1＞0，所以f(x1)–f(x2)0用定义法证明函数单调性的步骤：①取值；②作差变形；③定号；④下结论．问题讨论函数的单调性．1)(xxxf思考xyO－11吾日三省吾身：1、what2、when小结3、why