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1.1.2四种命题及其相互关系一、选择题1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”[答案]B[解析]考查命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案]D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案]A[解析]否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案]C[解析]特例：p：若∠A＝∠B，则a＝br：若∠A≠∠B，则a≠bs：若a≠b，则∠A≠∠Bt：若a＝b，则∠A＝∠B.5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真[答案]D[解析]原命题为真，故逆否命题为真．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4B．3C．2D．0[答案]C[解析]当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是()A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC．b⊂β，则b⊥α，则β⊥αD．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c[答案]C[解析]C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b⊂β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.8．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是()A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M[答案]D[解析]原命题与逆否命题等价．9．有下列四个命题：(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；(2)“若ab，则a2b2”的逆否命题；(3)“若x5，则x2－3x－100”的否命题；(4)“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析](1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－35，但x2－3x－10＝80.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则ab也是无理数”，假如a＝(2)2，b＝2，则ab＝2是有理数．10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案]A[解析]因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.二、填空题11．命题“若a1，则a0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案]真12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．[答案](1)偶数一定是末位是2的整数．(2)不是整数的数就不是有理数．(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；(2)0的平方等于0.[解析](1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．(2)命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于0.18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析]原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a1，∴4a－70，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．