搜索
28.1.3圆周角回顾1.什么叫做圆心角？圆心角的顶点和两边分别是什么？在同圆或等圆中，圆心角与它所对的弧有什么关系？顶点在____，角的两边与圆____，这样的角叫做圆心角。圆心角的顶点是圆的____，两边是圆的____。在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的两条弧______；弧的度数与它所对的圆心角的度数____。圆心相交圆心半径也相等相等2.找出下图中的圆心角，图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是圆心角吗？它们与圆心角有什么不同？它们有什么共同的特征？OABCDE图中的圆心角有∠BOE、∠DOE、∠AOD和∠BOD。∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的共同特征是：顶点在圆(周)上，角的两边都和圆相交。也可以这样说：顶点在圆(周)上，角的两边都是圆的弦。明确概念：顶点在圆(周)上，角的两边都和圆相交，这样的角叫做圆周角。判断下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由：①②③④⑤判断一个角是不是圆周角需要两个标准：①顶点在圆(周)上；②角的两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。思考：任意画一个⊙O，作它的直径AB，在圆周上任意取一点C(A、B除外)，连结AC、BC，则∠ACB是直径AB所对的圆周角吗？猜猜看：∠ACB是怎样的角？用量角器量一量，看你的猜测是否正确。你能从数学上给出证明吗？由此，你能得出什么结论？ABCO·归纳：半圆或直径所对的圆周角都____，都是___。相等90°这个命题的逆命题是什么？它的逆命题成立吗？90°的圆周角所对的弦是直径。问题：对于一般的圆周角，又有什么规律呢？如图，∠ACB、∠ADB都是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角。这几个角有什么关系？ABCDO操作：(1)分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，比较一下。再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化。你发现其中有什么规律？(2)分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现了什么？可以发现：当点C都在优弧AB(或都在劣弧AB)上变动位置时，圆周角的度数没有变化；当点C的位置同时在优弧AB和劣弧AB上时，两圆周角互补。并且圆周角的度数恰好等于同一条弧所对的圆心角的度数的一半。猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。如何在数学上证明这个猜想呢？请同学们任意画一个⊙O，并作它的一个圆心角∠AOB和同弧所对的圆周角∠ACB。想一想：就圆心O和圆周角∠ACB的位置而言，有几种不同的情况？其中最特殊的情况是哪种？ABCO(1)ABCO(2)ABCO(3)D12D12归纳：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角____，都等于它所对的圆心角的____；反过来，相等的圆周角对所对的弧____。相等一半相等结合上图用符号语言来表示。思考：这一定理能帮我们做什么？应用示例例1判断：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等。()(2)同弦或等弦所对的圆周角相等。()(3)顶点在圆周上的角叫做圆周角。()(4)圆周角等于圆心角的一半。()例2在圆中，一条弧所对圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。练习：1.如图，AB是⊙O的直径，∠C=20°，则∠BOC=_____。ABCO(第1题图)ABCDO(第2题图)2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，则BD=________。40°3cm3.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C。若AB是⊙O的直径，D是BC的中点为。(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并说明理由；(2)在上述条件下，△ABC还需要满足什么条件，点E才一定是AC的中点为？(直接写出结论)●ABDOCE课堂小结1.圆周角定理及其逆定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角____，都等于它所对的圆心角的____；相等的圆周角所对的弧____。2.圆周角定理的推论及其逆定理：半圆或直径所对的圆周角是____；____的圆周角所对的弦是____。3.圆周角定理及其推论给我们一种启示：在解决和圆有关的问题时，常常作辅助线构造同弧所对的圆周角；若条件中出现了直径，常常构造直径所对的圆周角，以产生特殊三角形—直角三角形。相等一半相等直角90°直径