等差数列的前n项和优质课比赛课件_11111

2.3等差数列的前n项和上页下页高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.上页下页有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋2＋3＋…＋99＋100上页下页高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？上页下页若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋2＋3＋…＋(n-1)＋n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形上页下页nn)1(321计算：2)1()1(321nnnnn＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1倒序相加法那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前n项和)1()1(3212nnnn分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②上页下页123nnSaaaa12()nnSnaa1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？121nnnnSaaaa1()2nnnaaS即①②上页下页已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.111121aadadand21nnnnaadadand11()2(),2nnnnnaaSnaaS即2nS1naa1naa＋1naa＋＋…＋1naa123nnSaaaa121nnnnSaaaa又各项组成新的等差数列①②倒序相加法上页下页求和公式1()2nnnaaS等差数列的前n项和的公式：思考：（1）公式的文字语言；11,naand由于1(1)2nnnSnad故（2）公式的特点；不含d可知三求一1(1)2nnnSnad上页下页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an1()2nnnaaS上页下页公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nnnSnad上页下页公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=－2，n=5050025501()12nnnaaS解：10(595)25001(1)22nnnSnad解：50(501)50100-222550上页下页例1、计算（1）5+6+7+…+79+80（2）1+3+5+…+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n-n例题讲解n2135+21n2解：…22nn2n135+212+4+6++2nn3解：原式＝……21nnn1212nnn3230提示：n=76法二：1212222nnnn上页下页例题讲解例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：1010101105005072502S万元答上页下页变式练习一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：1919191192115702S块答：屋顶斜面共铺瓦片570块.上页下页例题讲解例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad可得111045310201901220adad146ad于是，所以2(1)4632nnnSnnn＝上页下页例题讲解例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa①1202012020()12201222aaSaa②201060aa1060d6d14a21132nnnSandnn（）另解：两式相减得上页下页课堂练习答案:27练习1、练习2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前______项的和为54？na在等差数列中，120,54,999,.nnaaSn求答案:n=9，或n=-3（舍去）14,541042nndn提示：20+549992n提示：仍是知三求一上页下页课堂小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；3.公式的应用(知三求一)；上页下页（两个）1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad上页下页上页下页•教材P46A组2、5•到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？•到网上查找等差数列前n项和公式的应用，“发现”生活中的数学。•推荐网址：中国科学院网站巨人奥数网课后作业上页下页趣味数学在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？E-mail:[e-mail]真诚地感谢各位老师、各位评委的到来！2009-10-20