鲁棒控制(H范数与Riccati)

2020年3月8日鲁棒控制1H∞范数与Riccati方程/不等式2020年3月8日鲁棒控制2系统描述GuyDuCxyBuAxx01DBAsICsGDBAsICsG12020年3月8日鲁棒控制3哈密顿矩阵与黎卡提方程设,,nnAQRR，而且TT,QQRR，即Q和R是对称的，则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：TARHQA关于nnXR的矩阵方程：T0XAAXXRXQ称为黎卡提(Riccati)方程。2020年3月8日鲁棒控制4其中且B为列满秩，C为行满秩。哈密顿矩阵与黎卡提方程T0TTPAAPPBBPCCTTTABBHCCA考虑代数Riccati方程和相应矩阵H,,,nnnpqnARBRCR定义1：如果2n×2n矩阵H满足11(*)TJHJHJHJH00IJI其中，则称H为Hamilton矩阵。2020年3月8日鲁棒控制5如果Hamilton矩阵H没有虚轴上的特征值，则H矩阵具有下述性质：若，i=1,2,…,n,则。即H的特征值以虚轴、实轴对称。iHiH如果系统（A,B）能稳定，（C,A）能检测，则矩阵H没有虚轴上的特征值，且H的Jordan标准型为HHJHJ即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得11112111212122212200HH即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得哈密顿矩阵与黎卡提方程2020年3月8日鲁棒控制6定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解且使的充分必要条件是（A,B）能稳定，(C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P0.121110TPPWWRe0TABBP证明：充分性（1)解的存在性（2）解的对称性（3）为稳定矩阵（4）解的非负定性（5）解的唯一性必要性TABBP2020年3月8日鲁棒控制7X=Ric(H)和dom(Ric)的定义定义:满足黎卡提方程,并且使A－RX稳定的X，称为黎卡提方程的稳定化解，用X＝Ric(H)表示。定义:若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定特征值的特征向量基满足式，其中X1是非奇异的，则H∈dom(Ric)。T0XAAXXRXQT0XAAXXRXQ1122XXHZXX12XX2020年3月8日鲁棒控制8有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论结论1:若H∈dom(Ric)，X＝Ric(H)，则a)X＝XT；b)XA＋ATX－XRX＋Q＝0；c)A－RX是稳定的。结论2:如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定的对称矩阵，而且(A，R)是可稳定的，则H∈dom(Ric)。结论3:若(A,B)是可稳定的,(C,A)是可检测的,则哈密顿矩阵∈dom(Ric),X＝Ric(H)≥0。当(C,A)为能观测时，则X＝Ric(H)0成立。TTTABBHCCA2020年3月8日鲁棒控制9关于H∞范数的定理(1)定理1：对于稳定传递函数G(s)=C(sI-A)-1B，定义哈密顿矩阵2TTTABBHCCA其中γ0，则下述条件式等价的：a);b)H在虚轴上没有特征值；c)黎卡提方程具有半正定解X≥0。GT2TT0XAAXXBBXCC2020年3月8日鲁棒控制10关于H∞范数的定理(2)定理2：的充要条件是Mγ在虚轴上没有特征值。GT1T1T2T11T()ABRDCBRBMCSCABRDC2TRIDD2TSIDDmax()D2020年3月8日鲁棒控制11H∞范数计算的步骤选择一个常数γ0;计算哈密顿矩阵的特征值λi；若有λi在虚轴上，则增加γ，否则减少γ；通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使γ的搜索快速收敛于，并且具有任意的精度。G2020年3月8日鲁棒控制12H∞范数计算的框图开始取两个满足的初始值γ1和γ2以及精度要求ε≥012G123213233G21122G结束noyesnoyes2020年3月8日鲁棒控制13关于H∞范数的两个基本定理(1)定理1：下述四个命题是等价的:Gb)哈密顿矩阵1T1TT1T1TT()()ABRDCBRBHCIDRDCABRDC在虚轴上没有特征值；a)；c)黎卡提方程1T1TT1TT1T()()()0XABRDCABRDCXXBRBXCIDRDC具有使稳定的半正定解X≥0；1T1T0AABRDCBRBXd)H∈dom(Ric)，Ric(H)≥0。2020年3月8日鲁棒控制14定理2：下述两个命题是等价的:Ga)；b)对于一个充分小的常数0，黎卡提方程1T1TT1T1T()()()0XABRDCABRDCXXBRBXCIDRDCI具有正定解X﹥0。关于H∞范数的两个基本定理(2)1MMMGsCsIAB12TTMAABIDDDC1/22TMBBIDD1/212TTMCIDIDDDC1GsCSIABD1MMMGsCsIAB1MMMGsCsIAB2020年3月8日鲁棒控制15H∞范数与Riccati不等式0TTTPAAPPBBPCC设严格正则有理传递函数，则为稳定阵，且的充分必要条件为存在矩阵P0，满足Riccati不等式1GsABAsICsG12020年3月8日鲁棒控制1611110TTTTTTPABRDCABRDCPPBRBPCIDRDC设严格正则有理传递函数，则为稳定阵，且的充分必要条件为且存在矩阵P0，满足Riccati不等式1GsADBAsICsG1TRIDDTDDI其中2020年3月8日鲁棒控制17THANKYOU!