梯形、等腰梯形、直角梯形等概念-等腰梯形的有关计算与证明

知识点：梯形、等腰梯形、直角梯形等概念，等腰梯形的有关计算与证明（1）（2008年山东省潍坊市）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=(C)A.80°B.70°C.75°D.60°（2）(2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线将剪开，则得到的四边形是（A）A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形（3）（2008山东东营）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（D）A．10B．16C．18D．20（4）（2008湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（D）A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形（5）(2008浙江义乌)如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=2；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于：．（6）（2008桂林市）如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ＝6,ＢＣ＝8,则梯形的高为7。（7）（2008年陕西省）如图，梯形中，，，且，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是：．（8）(2008泰安)若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为：（结果保留根号的形式）．（9）(2008河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=20cm（10）（2008山西太原）在梯形ABCD中，，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为15。（11）（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为6．（12）（08山东省日照市）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明:过点C作CF⊥AB，垂足为F∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∴∠D＝∠A＝∠CFA＝90°∴四边形AFCD是矩形AD=CF,BF=AB-AF=1在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8，∴CF=．∴AD=CF=∵E是AD中点，∴DE=AE=AD=在Rt△ABE和Rt△DEC中，EB2=AE2+AB2=6，EC2=DE2+CD2=3，EB2+EC2=9=BC2．∴∠CEB＝90°∴EB⊥EC（13）（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．∵AB∥CD，∴DG＝CH，DG∥CH∴四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1∵DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°∴△AGD≌△BHC（HL）．∴AG＝BH＝＝3∵在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5∴DG＝4．∴（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB∴ME＝NF，ME∥NF∴四边形MEFN为矩形∵AB∥CD，AD＝BC∴∠A＝∠B∵ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°∴△MEA≌△NFB（AAS）∴AE＝BF．设AE＝x，则EF＝7－2x∵∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°∴△MEA∽△DGA∴∴ME＝∴当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为（3）能由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF即7－2x．解，得∴EF＝＜4∴四边形MEFN能为正方形，其面积为（14）（2008年四川巴中市）已知：如图9，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．（1）求证：．（2）连结，判断四边形的形状，并证明你的结论．（1）证明：点是中点又，在延长线上，，在与中（2）四边形是平行四边形．理由如下，四边形是平行四边形．（15）(2008年成都市)已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F分别是AB和BC边上的点.（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC.若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积的值；（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k·EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.解：由题意，有△BEF≌△DEF∴BF=DF如图，过点A作AG⊥BG于点G则四边形AGFD是矩形∴AG=DF,GF=AD=4在Rt△ABG和Rt△DCF中∵AB=DC,AG=DF∴Rt△ABG≌Rt△DCF(HL)∴BG=CF∴BG===2∴DF=BF=BG+GF=2+4=6∴S梯形ABCD=(2)猜想：CG=(或)证明：如图，过点E作EH∥CG,交BC于点H则∠FEH=∠FGC又∠EFH=∠GFC∴△EFH∽△GFC∴而FG=kEF,即∴即∵EH∥CG,∴∠EHB=∠DCB.而ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB.∴∠B=∠EHB.∴BE=EH∴CG=（16）(2008年乐山市)题甲：如图（13），梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连结BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G。（1）求证：（2）若GE＝2，BF＝3，求线段BF的长（1）证明：又（2）解：由（1）知，设，则，则有即，解得：或，经检验，或都是原方程的根，但不合题意，舍去．故的长为1（17）（2008年江苏省苏州市）如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．（1）梯形的面积等于；（2）当时，点离开点的时间等于秒；（3）当三点构成直角三角形时，点离开点多少时间？解：（1）36；（2）秒；（3）当三点构成直角三角形时，有两种情况：①当时，设点离开点秒，作于，．，，．当时，点离开点秒．②当时，设点离开点秒，，．．．．．当时，点离开点秒．由①②知，当三点构成直角三角形时，点离开点秒或秒（18）（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片．（1）求证：四边形是正方形；（2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形．证明：（1），，由沿折叠后与重合，知，四边形是矩形，且邻边相等四边形是正方形（2），且，四边形是梯形四边形是正方形，，又点为的中点，．连接在与中，，，，，，，四边形是平行四边形．．．．四边形是等腰梯形注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证（19）(2008广东深圳)如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．（1）证明：∵AE∥BD,∴∠E＝∠BDC∵DB平分∠ADC∴∠ADC＝2∠BDC又∵∠C＝2∠E∴∠ADC＝∠BCD∴梯形ABCD是等腰梯形（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5∵在△BCD中，∠C＝60°,∠BDC＝30°∴∠DBC＝90°∴DC＝2BC＝10（20）（2008年湖南省邵阳市）学生在讨论命题：“如图（十二），梯形中，，，则．”的证明方法时，提出了如下三种思路．思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形；思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形；思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．解：过点作交于点，，又，四边形为平行四边形，．（答案不唯一）（21）（2008广州市）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形.提示：得，由DC//AE,AD不平行CE得证