第三章-量子力学导论

第三章量子力学导论思维世界的发展,从某种意义上说,就是对“惊奇”的不断摆脱。——爱因斯坦19世纪末的三大发现揭开了近代物理发展的序幕1895年的X射线1896年的放射性1897年的电子1900年，普朗克为解决黑体辐射问题，提出辐射源能量量子化的概念；1905年，爱因斯坦为解决光电效应问题，提出光量子的概念；1913年，玻尔把量子化的概念应用于氢原子问题，成功的解释了氢光谱；1925年，泡利提出不相容原理，同年乌伦贝克和古兹米特提出电子自旋假设；旧量子论1925——1928年期间，量子力学由海森伯、玻恩、薛定谔和狄拉克等人建立起来。近代物理学的两大理论支柱量子力学相对论量子力学的主要内容一是介绍新概念产生的一些重要实验；二是提出一系列不同于经典物理的新思想；三是给出解决具体问题的方法；§3.1玻尔理论的困难§3.2波粒二象性§3.3不确定关系§3.4波函数及其统计解释§3.5薛定谔方程§3.6平均值与算符§3.7氢原子的薛定谔方程解第三章量子力学导论§３.1玻尔理论的困难(1)玻尔在1913年提出的氢原子理论获得了很大的成功：成功解释了氢光谱之谜，从理论上算出了里德伯经验常量；量子态的概念得到弗兰克－赫兹实验的直接验证；解释并预告了氦离子光谱……(2)然而玻尔理论把微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，理论本身存在难以解决的内在矛盾：首先，在概念上难以理解在保持静电相互作用有效性的前提下，加速电子在定态时发射电磁辐射的能力却消失了；其次，对定态之间跃迁过程中发射和吸收辐射的原因不是很清楚，对过程的描写十分含糊。卢瑟福的质疑……薛定谔的非难……“当电子从一个能态跳到另一能态时，您必须假设电子事先就知道它要往那里跳！”电子从一个轨道跃迁到另一轨道，速度不能超光速，即时间有限，则在此时间段内电子处于何种状态？(3)对一些实际问题无能为力如：氦原子光谱、氢原子光谱精细结构及谱线自然宽度、原子如何组成分子及构成液体和固体。§３.2波粒二象性（1）经典物理中的波和粒子（2）光的波粒二象性（3）德布罗意假设（4）戴维孙－革末实验（5）德布罗意波和量子态（1）经典物理中的波和粒子•在经典物理学中波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传递的方式；•并且不能同时用波和粒子这两个概念去描写同一现象。粒子的特性•具有完全的定域性，原则上可无限精确的确定它的质量、动量和电荷；•粒子可视为一质点，只要其初始的位置和速度已知，原则上可用牛顿力学完全描述它未来的位置和速度。•广延性，周期性，迭加性，能产生干涉、衍射、偏振等现象。波的特性（2）光的波粒二象性关于光的本性的争论……hhp光是粒子性和波动性的矛盾统一体爱因斯坦的光量子理论（1905年、1917年）pk或•光是一种电磁波，并被干涉、衍射、偏振等实验和麦克斯韦理论完全证明。•光在传播时显示波动性。光的波动性:光的粒子性：•光电效应和康普顿效应等证明光的粒子性。•光在与物质作用，转移能量时显示粒子性。（3）德布罗意假设hp与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波。1924年，德布罗意在其博士论文中提出所有的物质粒子都具有波粒二象性的假设，并认为动量为p的粒子，伴随的波的波长为：德布罗意关系式2Emc质能关系比较普朗克常量的意义：1900年普朗克引入这一常量时，它的意义是量子化的量度。经过爱因斯坦和德布罗意的努力，物质粒子的波粒二象性的观念出现了，而在物质波动性和粒子性之间起桥梁作用的，又是普朗克常量。量子化和波粒二象性，是量子力学中最基本的两个概念，而同一个常量h在其中都起着关键的作用，这一事实本身就说明了，这两个概念有着深刻的内在联系。在任何表达式中，只要有普朗克常量h的出现，就必然意味着这一表达式的量子力学特征。实验装置（4）电子波动性的实验验证——戴维孙－革末实验（1925年）实验结果当不变时，I随U改变，当U=54V时，在500角方向探测到的反射束强度出现一个明显的极大。入射电子束在一系列晶面上产生布拉格衍射实验解释晶体结构aasindad如图，强波束射出的条件是：2cos2sincossin2sinndaaasinna即布拉格公式根据德布罗意关系222kkhhhcpmEmcE电子的德布罗意波长612401.226()20.51110()kkeVnmnmEeVeVEeV带入布拉格公式，可得1.226sin()knnnmaaEeV由此算得结果与实验结果完全符合。（见课本p82）讨论：动量与动能的关系当动能较小时，可用经典表示21,22kkEmvpmvmE若动能较大，则要用相对论公式20kEmc222240Epcmc总能量20kEEmc且可得201(2)kkpEEmcc戴—革的电子衍射实验有力地证明了电子的波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。三十年代以后，实验进一步发现了中子、质子，中性原子的衍射现象，证明了一切微观粒子都具有波动性。它们本身又是粒子，因而具有波粒二象性。且波长都由=h/p确定，进一步证实了德布罗意假设的真实性。因为h很小，当p=mv很大时，，宏观物体显示不出波动性，并不是德布罗意关系式不适用。各种粒子对应的德布罗意波长为0.1nm时的动能……（见课本p82）实验的意义（5）德布罗意波和量子态氢原子中绕核运动的电子若能稳定存在，则与这个电子相应的波就必须是一个驻波，即电子绕核运动的周长必须是与其相应的波长的整数倍：2hhrnnnpmv2hmvrLn即角动量量子化条件禁闭的波必然导出量子化条件。（阅读课本p83-87）§3.3不确定关系（1）不确定关系（海森堡，1927年）的表述和含义xxphtEh含义：•粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量。•只有当粒子在某一状态的停留时间（△t）为无限长时（稳态），它的能量才是完全确定的。测不准？不确定关系中的普朗克常量h：因为h是一个小量，因而，不确定关系在宏观世界并不能得到直接的体现；但它不等于零，从而使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律。电子“在轨道上运动”的概念失去了意义……宏观小球的运动……21/1.246.3511(137)0.053phxhcnmkeVpmcmcxkeVnm25/6.610phxpp（2）不确定关系的简单导出考虑电子的单缝衍射：dp当入射电子波的波长与狭缝的宽度d相近时，就会出现衍射现象。如图，衍射主极大的位置决定于：sindhpxdsinxppsindxhhppxxxx方向上，粒子坐标的不确定度为由粒子动量的不确定度为即xxph严格的证明给出：22xxptE（3）应用举例【例1】束缚粒子的最小平均动能。xr若粒子被束缚在限度为r的范围内，即则粒子的动量的不确定度22xpxr2[()]xxxppp平均束缚粒子0xp22()()xxpp平均对于三维空间221()()3xpp平均平均最小平均动能22223()3228xkppEmmmr平均只要粒子被束缚在有限空间（即粒子在势阱内），粒子的最小平均动能就不能为零（粒子不能落到阱底）。【例2】电子不能落入（被束缚在）核。电子离核越近，即r越小，电子的动量将越来越不确定，而电子的平均动能将越来越大。若电子的运动范围从0.1nm到3fm时，其平均动能约从1eV增大到0.1GeV！因此，电子几乎不能靠近原子核。【例3】谱线的自然宽度。假定原子中某激发态的寿命为，则810ts83.31022cEeVttc此即与该激发态相应的谱线的自然宽度，由能级的固有寿命决定的。（4）互补原理如果说，海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性，那么玻尔的互补原理则从哲学的角度概括了波粒二象性。玻尔对互补原理概括的叙述是：“一些经典概念的应用不可避免地将排除另一些经典概念的同时应用，而这‘另一些经典概念’在另一些条件下又是描述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成对现象的详尽无遗的描述”。§3.4波函数及其统计解释（1）波粒二象性及概率概念经典物理中的决定论微观粒子（波粒二象性）不确定关系概率性的观点对于光波，爱因斯坦在1917年引入了统计性的概念。对于物质波，玻恩在1926年提出了德布罗意波的概率解释。适用于宏观世界则对于在x方向以恒定线动量运动的粒子，其德布罗意波可相应的写为：0sin2()xt或者，()0ikrte2/,2k称之为波函数（振幅）。波长为、频率为、在x方向运动的正弦电磁波的电场强度可写作：0sin2()xEEt玻恩把解释为在给定时间、在处单位体积中发现一个粒子的概率。2r波函数的概率解释：•波函数的概率解释是量子力学的基本原理之一；•经典波与量子波的不同：经典波振幅可测量波函数只可测量其，即概率。2经典波的波幅不同对应不同的波动状态波函数所代表的是概率分布，其值只具有相对意义。经典波量子波（2）双缝干涉实验xxS12x探测器1()Ix2()Ix12()Ix光源光的双缝干涉实验（1801年，英国杨氏）S12x探测器1()nx2()nx12()nx机枪xx经典粒子的双缝实验无干涉现象:1212()()()nxnxnxS12x探测器1()nx2()nx12()nx电子枪xx电子的双缝实验（1961年，约恩孙）出现干涉图像:1212()()()nxnxnx28只电子1000只电子1万只电子几百万只电子干涉现象不是由微观粒子相互之间作用产生的，而是独立的微观粒子属性的集体贡献。电子每次只能从一个缝通过，但结果是两个缝都对它起作用。观察效应使干涉消失1D2D2P1P12Sx（3）态的叠加原理微观世界中，一事件发生的概率2P也可表示为：2ifwfi概率幅服从的规则：fifi表示从i态到f态跃迁的概率幅，相当于。规则一（概率幅叠加原理）ifnnfifi22nnfifi规则二i2f3f1f规则三ifvfifvvi规则四ffiififiifif（4）干涉实验的解释只开缝1111xSxS2211()11IxxSxS只开缝22222()22IxxSxS双缝齐开1122xSxSxS2212**121212()1122()()IxxSxSxSIxIxxSxSxSxS1212()()()IxIxIx可见观察效应使干涉消失：若光源P放出光子的波长很长，以至无法分辨电子从哪个狭缝通过，对于电子，有两个概率幅：111xS222xS对于光子1211122DPDP2121122DPDP1D2DP12Sx电子在x处被记录，光子同时在D1被记录的概率幅1111xDSP1222xDSP11122xDSP电子在x处被记录，光子同时在D2被记录的概率幅21221xDSP电子在x处被记录，光子不管在哪个探测器被记录的概率222221211221221xSxDSPxDSP2222****121212121212()()()()上式第二项反映了干涉效应。若光子波长变短，以致在缝1处与电子散射的光子到达D2的概率减小，即下降，则干涉项变小；当时，干涉项完全消失：22221122()xS220说明：1、当双缝齐开时，即使对于一个电子，也要用去描写它，可见双缝确实在同时起作用；2、干涉的产生是由于一个电子的两个态的叠加，是自己与自己的干涉，而不是两个电子的干涉。12关于光的波动性（经典概念）……经典干涉（经典叠加）只在玻色子的集合中发生。光子是自然界存在的唯一稳定的玻色子。电子波（德布罗意波）的干涉和衍射不能用经典波的叠加原理来解释，它的起因是概率幅的相加