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12.3角平分线的性质（2）1、快速用尺规作一个已知角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角平分线的性质:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用符号语言表述：温故知新•把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．想一想已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证一证角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用符号语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE说一说所以：角平分线可以看做到角的两边距离相等的所有点的集合1、如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。北比例尺1：20000用一用·OABCP┒例1如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等.ABCMNPDEF怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？DABCPMN变式1：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P也在∠A的平分线上.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于FEF∵点P在∠ABC的平分线上,PD⊥AB，PE⊥BC∴PD＝PE同理PE＝PF∴PD＝PF∴点P在∠BAC的平分线上变式2：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM同理FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上.1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时，一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?课堂练习拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处例2、在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.ABCEFD1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下面给出三个结论：(1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的距离相等，其中正确的结论有()课堂练习ABCEFD2、已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD.求证：AD平分∠BAC.ABCFED课堂练习2、已知:BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF.求证:点F在∠A的平分线上.DNEBFMCA拓展与延伸到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE用数学语言表示为：1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等2、三角形角平分线的交点性质：三角形的三条角平分线交于一点.3.角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上.4.角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段.5.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.