2.4.2--平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）.记作其中θ是的夹角.abcosababcosabab即，规定:零向量与任一向量的数量积为0.数量积的定义abab与我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用a和b的坐标表·示ab呢？1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.(重点)2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式.（重点）3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及能解决一些简单问题．（重点、难点）1122a=(x,y),b=(x,y)已知两个向量，abab如何用与的坐标表示呢？ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)aby微课1平面向量数量积的坐标表示1122axiyjbxiyj因为，，112222121221121212ab(xiyj)(xiyj)xxixyijxyijyyjxxyy.所以提示:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.1212abxxyy1122已知两个向量()()，则a=x,y,b=x,y根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算.平面向量数量积的坐标表示(,),设能否用向量的坐标表示？axya222,aaaxy因为22.axy所以提示:22222(,),.axyaxyaxy设则或1122222121,)(,),)).AxyBxyABxxyy设（,则（（向量的模能否用向量的坐标表示两向量垂直？121200.ababxxyy1122,),(,),axybxy（设ab,是非零向量，提示:已知MN→＝(3,4)，则|MN→|等于()A．3B．4C.5D．5D【即时训练】A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0yA(1,2)例1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.所以三角形ABC是直角三角形.因AB=(2-1,3-2)=(1，解:,1)为AC=(-2-1,5-2)=(-3,3)，所以ABAC=1×(-3)+1×3=0，所以AB⊥AC.两个非零向量的数量积是否为零是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8)，则四边形ABCD的形状是.矩形【变式练习】1122ax,y),b(x,y),ab(0180)设（且与夹角为，能否用向量的坐标表示两向量的夹角？12122222112222221122cos.00.xxyyababxyxyxyxy其中，微课2平面向量夹角的坐标表示提示:已知向量13BA=,22,31BC=,22,则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°A【即时训练】2(5,7),(6,4),1ababab例.设求,与间的夹角（精确到）.22225(6)(7)(4)30282.5774,(6)(4)52,abab（）2cos0.03.7452.计92利用算器得【解析】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．(1)a与b的夹角为90°；(2)a与b的夹角为锐角．【解题关键】由向量的夹角公式，可转化为判定a·b的符号．【变式练习】【解析】(1)设a与b的夹角为θ.|a|＝12＋22＝5，|b|＝1＋λ2，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.(2)∵a与b的夹角为锐角，∴cosθ0，且cosθ≠1，∴a·b0且a与b不同向．因此1＋2λ0，∴λ－12.又a与b共线且同向时，λ＝2.∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．【方法规律】1．两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cosθ的正负不能判定θ为锐角或钝角．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积；(2)利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模；(3)由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22直接求出cosθ的值．(4)在0°≤θ≤180°内，由cosθ的值求角θ.1,2.60.30.135.45ababaabABCD已知且()与垂直，则与的夹角是（）。D【互动探究】1．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，y)，a⊥b，则y等于()A．－1B．1C．－2D．2D2.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)【解析】采用验证的方法知，c＝(－3，－2)满足c·a＝－6＋6＝0，所以c⊥a，b·c＝1×(－3)＋(－2)×(－2)＝1.因此可选C.C3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.23【解析】222|2|||44||4421cos60412abaabb所以|2|1223ab.2,1,3-.2.3.6.12abababABCD4.已知且与的夹角是，那么向量的模是（）。BA(1BC(1)2ABAC(2)cosBAC.6.已知，0),(0，1),(2，5),求的模.22(1(15),22(11)(15)(12(1)752.ABACABACABAC(1)，1),，所以，，，7).即1115213(2)cos.13226ABACBACABAC【解析】k为何值时:(2)kab与3ab平行？3b（，2），a（1，2），7.已知(1)kab与3ab垂直？平行时，它们是同向还是反向？(1,2)(3,2)(3,22)kabkkk，解：313(3,2)(10,4).ab（，2）3因kabab为（）（），()(3)0.3)4(22)0,19.所以即10(解得kababkkk193.所以时，与垂直kkabab1(2)1022)4(3)0,3由（解得，kkk133所以当时，与平行.kkabab1(3).3此kabab时3.所以与方向相反kabab注意反向时系数为负数，正向时系数为正数数量积的坐标表示向量数量积公式两点间距离公式向量的模、夹角、垂直公式1.知识结构2.三个重要公式三个重要公式向量模公式：设221111a(x,y),axy则两点间距离公式：若1122A(x,y),B(x,y)，222121AB(xx)(yy)则向量的夹角公式：设两非零向量1122121222221122a(x,y),b(x,yabxxyyabcosabxyxy)，与的夹角为，则有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍耐精神的人，是非常幸运的.——塞涅卡