高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全

1高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1求曲线)(xfy在0xx处的切线方程。方法：)(0xf为在0xx处的切线的斜率。题型2过点),(ba的直线与曲线)(xfy的相切问题。方法：设曲线)(xfy的切点))(,(00xfx，由bxfxfax)()()(000求出0x，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f（x）=x3﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169yx）（2）若过点A)2)(,1(mmA可作曲线)(xfy的三条切线，求实数m的取值范围、（提示：设曲线)(xfy上的切点（)(,00xfx）；建立)(,00xfx的等式关系。将问题转化为关于mx,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m的范围是2,3）题型3求两个曲线)(xfy、)(xgy的公切线。方法：设曲线)(xfy、)(xgy的切点分别为（)(,11xfx）。（)(,22xfx）；建立21,xx的等式关系，12112)()(yyxfxx，12212)()(yyxfxx；求出21,xx，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例求曲线2xy与曲线xeyln2的公切线方程。（答案02eyxe）二．单调性问题题型1求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数xaxxaxf)1(21ln)(2（1）求函数)(xf的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若ex,2，求函数)(xf的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）题型2已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1：研究导函数讨论。方法2：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立问题，方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：“函数)(xf在nm,上是减函数”与“函数)(xf的单调减区间是ba,”的区别是前者是后者的子集。例已知函数2()lnfxxax+x2在,1上是单调函数，求实数a的取值范围．（答案,0）题型3已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。例设函数1)(23xaxxxf，Ra在区间1,21内不单调，求实数a的取值范围。（答案：3,2a））三．极值、最值问题。题型1求函数极值、最值。基本思路：定义域→疑似极值点→单调区间→极值→最值。例已知函数121)1()(2kxxekxexfxx，求在2,1x的极小值。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型2已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。例函数1)1(21)1(3141)(234xpppxxpxxf。0是函数)(xf的极值点。求实数p值。（答案：1）题型3已知最值，求系数值或范围。2方法：1.直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。例设aR，函数233)(xaxxf．若函数()()()[02]gxfxfxx，，，在0x处取得最大值，求a的取值范围．（答案：56,）四．不等式恒成立（或存在性）问题。一些方法1.若函数nmxf,)(值域，a＞)(xf恒成立，，则na2.对任意nmxnmx,,,21，)()(21xgxf恒成立。则min1)(xfmax2)(xg。3.对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则max1)(xfmin2)(xg。4.对,,1nmx，恒成立)()(11xgxf。转化0)()(11xgxf恒成立4.对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则min1)(xfmin2)(xg。5.对nmxnmx,,,21，)()(21xgxf成立。则max1)(xfmax2)(xg6.对nmxnmx,,,21，axxxfxf2121)()(成立。则构造函数axxfxt)()(。转化证明)(xt在nm,是增函数。题型1已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。（2）讨论法:有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。（3）数形结合：（4）变更主元解题思路1.代特值缩小范围。2.化简不等式。3.选方法（用讨论法，或构造新函数）。方法：分离法。求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例函数axxexfx)ln()(2。在ex,1exf)(恒成立，求实数a取值范围。（方法：分离法，多次求导答案：,0）方法：讨论法。有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例设函数f(x)=21xexax.若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.（答案：a的取值范围为1,2）方法：数形结合。数形结合解不等式恒成立问题的步骤：（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式子分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线，）。（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值，图像的凹凸性。（4）画出两个函数图像。（5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解。例（2012新课标全国卷理科21题第二问）已知函数()fx满足121()(1)(0)2xfxfefxx；若21()2fxxaxb，求(1)ab的最大值。解：1211()(1)(0)()(1)(0)2xxfxfefxxfxfefx，令1x得：(0)1f1211()(1)(0)(1)1(1)2xfxfexxffefe得：221)(xxexfx，(变形)又21()2fxxaxbbxaex)1(，(设函数)设)(xgxe，)(xhbxa)1(。(画函数图像))(xgxe的图像是过（0，1）的曲线C，曲线C随着x的增大y值增大且图像下凹。)(xhbxa)1(的图像是过点（0，b）且斜率为1a的直线L，如图一。(列式求解)由bxaex)1(，则曲线C必在直线L的上方或曲线C与直线L相切。设曲线C与直线L的切点为M),(00yx，曲线C在点M),(00yx的切线方程为L:)1(000xexeyxx，切线的斜率为0xe，在y轴上的截距为)1(00xex。又直线L的斜率为1a，在y轴上的截距为b，则有)1(0aex，bxex)1(00，所以ba)1(0xe×)1(00xex=)1(020xex，设)(0xt)1(020xex，Rx0，)(0xt)21(020xex，当21,0x，)(0xt＞0当,210x，)(0xt＜0，故)(0xt有最大值2)21(et，所以，(1)ab的最大值为2e。方法：变更主元例：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx，若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.（答案：2）五．函数零点问题0yxbxaxh)1()(C:),(00yx1ML：3题型1：判断函数零点的个数。方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理例.设31,()(1)ln3aRfxxaxax．若函数()yfx有零点，求a的取值范围．（提示：当1a时，0)1(f，0)3(af，所以成立，答案,31）题型2：已知函数零点，求系数。方法：图象法(研究函数图象与x轴交点的个数)；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化函数，研究函数的单调性。）例.函数3)1(1ln)(xaxxxf在（1,3）有极值，求实数a的取值范围。（答案181,）六．不等式证明问题方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。方法2：讨论法。方法2.研究两个函数的最值。如证)()(xgxf，需证)(xf的最小值大于)(xg的最大值即可。方法：讨论法例：已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy。证明：当0x，且1x时，ln()1xfxx。方法：构造函数例：已知函数2()(0)fxaxkbxx与函数()ln,、、gxaxbxabk为常数，（1）若()gx图象上一点(2,(2))pg处的切线方程为：22ln220xy，设112212(,),(,),()AxyBxyxx是函数()ygx的图象上两点，21021()yygxxx，证明：102xxx方法：构造函数，不等式放缩例.已知函数)(ln)(2Rmmxxxf(I)；若m=0，A(a,f(a))、B(b，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且ab0,)(xf为f(x)的导函数，求证：)()()()2(bfbabfafbaf(II)求证：*)(1...31211)1ln(122...725232Nnnnn方法：求同项。方法：数学归纳法。七．导数在实际中的应用