原函数图像与导函数图像的关系探究

原函数图像与导函数图像的关系探究1/3原函数图像与导函数图像的关系探究利用导函数的图象可以形象地描述原函数的单调、极值情况,所以有关图像问题是近几年高考热点问题，如何研究这类图像问题，这类问题有什么解题策略，为帮助大家学习下面总结如下。结论一：由导函数函数值符号看原函数结论1:连续可导函数的导函数图像在轴上方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递增;在轴下方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递减。同理可以根据原函数图像研究导函数的图像。例1设()yfx是函数()yfx的导数,()yfx的图象如右图所示,则()yfx的图象最有可能是()分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解析：由导函数的图象可知，原函数的单调性应为(0)，增，)2,0(减，(2,)增，故选C.点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．例2.已知二次函数()fx的图象如上图所示，则其导函数()fx的图象大致形状是_____.AyOx1BxyOCxO1yDxOy原函数图像与导函数图像的关系探究2/3分析：由图象可以看出，函数在函数是先减后增，故根据单调性与导数的对应关系作出选择解析：由图知，当x＜1时，导数为负；当x＞1时，导数为正；当x═1时，导数为0；对照四个选择项，只有C有这个特征，是正确的．故应选C．点评：考查导数的正负与函数单调性的关系，利用图象法来考查这一知识点，是现在比较热的一方式．结论二;由导函数零点看原函数结论2:导函数的变号零点是原函数极值点。其中导函数图像从轴上方过渡到下方的零点为原函数的极大值点;从轴下方过渡到上方的零点为原函数的极小值点。例3.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，再结合极值点的定义，然后得到答案．解析：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选A．点评：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础，利用极值点的特征以及结论2就可以正确求解。例4.已知函数y=f（x）的导数函数y=f′（x）的图象（如图），则当函数y=f（x）取得极大值时，x的值是（）A．x1B．x2C．x3D．x4原函数图像与导函数图像的关系探究3/3分析：导函数图象研究其正负，从而得出函数的增减性，再根据函数在导数为0的左右附近，左增右减，从而研究函数的极大值．解：由图可知，函数在x3处导数为0，且在其左边导数小于0，右边导数大于0，故选C．点评：函数y=f（x）在x=x0处取极值的充要条件应为：（1）f′（x0）=0，（2）在x0左右两侧的导数值的符号相反．两者缺一不可．例5（广东省茂名市2018届高三上学期第一次模拟考试）如图是函数()yfx的导函数'()yfx的图象，给出下列命题：①-2是函数()yfx的极值点；②1是函数()yfx的最小值点；③()yfx在0x处切线的斜率小于零；④()yfx在区间（-2，2）上单调递增。则正确命题的序号是。分析：本题求解利用结论1、2以及导数的几何意义综合考虑进行判断。解析：当2x时，0)(/xf；2x时，0)(/xf，所以-2是函数()yfx的极小值点，所以①正确；②显然错误；③由于0)0(/f，所以()yfx在0x处切线的斜率大于零；所以③错误；()yfx在区间（-2，2）上0)(/xf，所以是单调递增函数，所以④正确。所以答案为：①④。点评：本题考查了导函数图像判断原函数的单调性问题，题目难度不大，需要掌握基本概念、性质即可解决。