回归方程和独立性检验知识点

第1页共3页回归分析和独立性检验一、回归分析1、回归直线方程axbyˆˆˆ（x叫做解释变量，y叫做预报变量）其中niiniiixxyyxxb121)())((ˆ＝niiniiixnxyxnyx1221（由最小二乘法得出，考试时给出此公式中的一个）xbyaˆˆ（此式说明：回归直线过样本的中心点)(yx，，也就是平均值点。）2、几条结论：（1）回归直线过样本的中心点)(yx，。（2）b0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。（3）斜率b的含义（举例）：如果回归方程为y=2.5x+2，说明x增加1个单位时，y平均增加2.5个单位；如果回归方程为y=－2.5x+2，说明x增加1个单位时，y平均减少2.5个单位。（4）相关系数r表示变量的相关程度。范围：1r，即11rr越大．，相关性越强．。0r时，y与x正相关；0r时，y与x负相关。（5）相关指数2R表示模型的拟合效果。范围：]10[2，R2R越大．，拟合效果越好．，（这时：残差平方和越小，残差点在带状区域内的分布比较均匀，带状区域宽度越窄，拟合精度越高）。2R表示解释变量x对于预报变量y变化的贡献率。例如：64.02R，表明“x解释了64%的y变化”，或者说“y的差异有64%是由x引起的”。（6）线性回归模型eabxy，其中e叫做随机误差。（y是由x和e共同确定的。）二、独立性检验1、原理：假设性检验（类似反证法原理）。一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算2K值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为(1－P),也就是“X和Y有关系”。（表中的k就是2K的观测值，即2Kk）))()()(()(22dbcadcbabcadnK第2页共3页2、22列联表：（考试给出）部分对照表（考试时会给出用到的一部分数据）：3、范围：),0(2K；性质：2K越大．，说明变量间越有关系．．．。三、典型例题例1、右表中是生产某种产品x（吨）与相应消耗的煤y（吨）记录数据：（1）画出数据的散点图；（2）求线性回归直线方程；（3）估计生产7吨产品时，消耗的煤约为多少吨？解：（1）散点图如右。从图中可以看出x与y正相关。（2）（提示：把原数据表抄一遍，并且增加2行和1列，计算出后面需要用到的数据）设回归直线方程为axbyˆˆˆ25.44865.35.445.66ˆb＝0.7，35.05.47.05.3ˆˆxbya所以，回归方程为：35.07.0xy（3）当7x时，25.535.077.0y所以，估计．．生产7吨产品时，消耗的煤约为5.25吨。例2、为了考察某药物预防疾病的效果，现对105人进行试验调查，得到22列联表。试判断：服用药物和患病之间是否有关系？解：105n，10a，45b，20c，30d1y2y总计1xabba2xcddc总计cadbdcbanP0.100.050.0250.0100.0050.0012Kk2.7063.8415.0246.6357.87910.828x3456y2.5344.52ix9162536862ixx34565.4xy2.5344.55.3yiiyx7.51220275.66iiyx患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105108642-2-4-6-8-10-15-10-551015第3页共3页75305055)20453010(10522K6.1095.024（提示：运算时尽量先约分化简，再计算）所以，有1－0.025＝97.5%的把握认为服用药物和患病之间有关系。