一次函数与一次函数

第8节一次函数与一次函数一次函数与一次函数，这一节课把一次函数的学习推向高潮。是要探讨当同一个问题中出现两个一次函数时，怎么用一次函数解决实际问题。还要进一步探索一次函数中的一些规律。我们看这样一个例子：例1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，他手中持有的钱数y(含备用零钱)与售出的土豆千克数x的关系如图所示，结合图象回答下列问题。(1)农民自带的零钱是___元；(2)试求降价前y与x之间的函数关系式；(3)降价前土豆价格是多少？与表达式有什么关系？(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆？名师讲解：在这个问题中农民销售土豆有两种不同的价格，先贵后贱，这就导致出现了两条倾斜程度不同的线段，表示了有两个不同的一次函数，前面这一段比较陡的是一开始价格比较高的时候售出的土豆量和他手中钱数之间的关系;而后面这一段比较缓的是他降价以后售出的土豆量和他手中钱数之间的关系。而这两条线段的交点就是他降价前后的分界点，我们看一下针对这个问题有哪些题等着我们去回答：第一问：农民自带的零钱是多少元？自带的零钱是多少元那就是还没有卖出土豆的时候他有多少钱，也就是当x=0时y等于多少？从图中不难发现当x=0时y=5，这就充分说明农民自带的零钱是5元；第二问：试求降价前y与x之间的函数关系式；那就是要求这条线段所在直线的函数解析式，我们可以利用待定系数法去求，先设y=kx+b,当x=0时y=5，当x=30时y=20，建立两个方程，通过解两个方程求出k和b的值，然后把k和b的值反代入刚才设的解析式中就可以求出一次函数的解析式，求得的结果是y=0.5x+5，这两问都很简单都是之前我们都学习过的，第三问就重要了第三问：降价前土豆价格是多少？与表达式有什么关系呢？我们可以通过图中的一些信息计算出降价前土豆价格，降价前卖出的土豆总共是30千克，由0到30，30千克，他手中的钱由5元变成了20元，那就可以计算出降价前土豆价格是（20−5）÷（30−0）计算的结果是0.5(元/千克)；到这一问还不是太难，关键是后半句与表达式有什么关系？就是这个价格0.5元每千克与表达式有什么关系，不难发现价格等于表达式中的k，那这又能说明说明问题呢？我们再回头来研究下这个0.5我们是怎么计算出来的，0.5是（20−5）÷（30−0），20−5是因变量的变化量由5变成20了。而30−0是自变量的变化量由0变成30，用因变量的变化量除以对应自变量的变化量就是价格，就是一次函数中的k，那我们就可以归纳成：对一次函数而言k值等于因变量的变化量除以对应的自变量的变化量。只是对于这个问题而言是价格，如果推广开来研究的不是销售量和钱，而是时间和路程之间的关系的一次函数，按照这个意思k值表示的应该是速度，对吗？因为你路程增加了多少对应的时间用了多少，一除不就是速度吗？如果我后面说的这个没太听懂可以先放一放，我们继续研究第四问：降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆？看着图就明白就是让我们来求这个a呢，我想我们还是用函数去解决这个问题，要求a就是要求当y=26的时候x等于多少，要求当y=26的时候x等于多少，关键是要求出这一段的解析式，这一段的解析式是个一次函数，那就牵扯到要设这个一次函数的解析式，两个参数k和b有没有知道的呢？刚才咱们研究过了价格就是k,那这个问题人家已经告诉了你价格是0.4元每千克，那就说明要求的这个一次函数的解析式k值是0.4，所以我们可以设它的解析式是y=0.4x+n,只要把n求出来这个式子的解析式就出来了，怎么求n呢，还是用待定系数法，还有一个条件我们没用，就是这个点，这个点也在后面这条线段上，说明x=30时y=20,那我们就可以将(30,20)代入，代入以后可以获得一个方程20=0.4×30+n,解这个方程可以得到n=8,进而明确了它的解析式是y=0.4x+8,解析式求出来了，现在问当y=26时x等于多少，把y=26代入就可以得到一个方程26=0.4x+8,解得x=45,下来就可以答了，这个题就讲完了。那这个题主要想说明一个什么问题？主要想说明的问题就是在：一次函数中k值等于因变量的变化量除以对应的自变量的变化量。有一定的实际意义，在这个问题中是价格。我们再讲一道题。如图2,l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系,l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图像填空：意，当x=2吨时，赢利=______元。t代表吨（1）当销售量为2t时，销售收入是______元，销售成本是______元：（2）当销售量为6t时，销售收入是______元，销售成本是______元：（3）当销售量等于______时，销售收入等于销售成本；当销售量等于______时，销售收入等于销售成本：（4）当销售量等于______时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量等于______时，该公司亏损（收入小于成本）：（5）l1对应的函数表达式是____________，l2对应的函数表达式是____________.名师讲解：对这个公司而言它要关注两个一次函数：一个是收入与销量之间的关系一个是成本与销量之间的关系，通过这个图不难看出收入随着销量的增加，增加的速度要快一些，因为他的图像陡吗，成本随着销量的增加，增加的速度要慢一些，因为他的图像缓吗，还没有销售的时候收入是0，但是成本已经是2000了，但是收入随着销量的增加，增加的速度快终究有那么一刻收入就超过了成本使得这个公司盈利了，我们看一下有哪些题等着我们回答：第一问：当销售量为2吨时，销售收入是多少元，销售成本是多少元，很简单x=2让我们就在l1上找对的是2000让我找成本我就在l2上找对的是3000第二问：当销售量为6吨时，销售收入是多少元，销售成本是多少元，也简单x=6让我们就在l1上找对的是6000让我找成本我就在l2上找对的是5000，线不够长的可以自主延长。前两问很简单，是为后面服务的！第三问：当销售量等于多少时，销售收入等于销售成本刚才第一种情况是销售收入销售成本第二种情况是销售收入销售成本,现在让我们来找什么时候销售收入等于销售成本，那你就得理解什么叫销售收入=销售成本，那就是在同一个自变量的情况下因变量要相等，自变量也相等，因变量也相等，那就是x和y都相等是同一个有序实数对反映到图像上是同一个点那对于l1和l2而言不就是这个交点吗就是交点能满足x也相等y也都相等，想到这一层这个问题的答案就有了，当售量等于4吨时，销售收入=销售成本。看更难的第四问。第四问：当销售量等于多少_时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量等于多少时，该公司亏损（收入小于成本），这肯定是一个范围，我得从刚才的问题中寻找答案刚才已经有一个盈利的了第二问就盈利对吧第二问就盈利了当x=6的时候收入大于成本收入6000成本5000体现在图像上是收入的点高成本的点低我把这个发现扩展开来那就是说只要在同一自变量的情况下对应的因变量的点比成本的点高就是盈利了是这样吗由此我可以看到5好像也是盈利的因为收入的点高成本的点低我再把我的这些发现归纳一下只要是盈利就得收入的点高成本的点低收入的点比成本的点高如果把很多的点或者说无数个点放在一起不就是线吗对吧那就归纳成了只要收入的线比成本的线高就说明盈利这下我就会看图了我就要在图中看那一个区域收入的线高成本的线低，那当然是4右侧的了4右侧你看收入的线在这儿成本的线是不是在这儿比它高吧所以当销售量x4t时盈利（收入大于成本）,那亏损就和它意义相反了收入的图像低然后成本的图像高很显然是4左侧4左侧的那就是x4t同时考虑到要有实际意义还应该增加一个范围大于等于0，因为你卖出的量不可能是个负值自己卖自己的好咱们看第五问。第五问：l1对应的函数表达式是什么，l2对应的函数表达式是什么.如果用待定系数法求这两个函数表达式那干吗前面还要说那么多呢？所以学了这节课以后咱们再求一次函数的表达式就有新的方法因为刚才通过例1我们已经研究过一次函数中k值是有实际意义的是因变量的变化量除以对应的自变量的变化量那要求l1对应的函数表达式它是个正比例函数它的形式应该是y=kx这个k怎么来啊我们可以找到一个点l1上找到一个点看y变化了多少对应的x变化了多少y从0变化到2000增加了2000x从0变化到2增加了2用2000÷2就是k的值也就是1000清楚吗类似地要求l2的表达式l2是个一次函数y=kx+bK我们还是用因变量的变化量除以对应的自变量的变化量我在l2上随便找一个点比如说我们找这个点这一点你看因变量的变化量是从2000变到了3000增加了1000对应的自变量从0变成2增加了21000÷2=500所以它的k值是500怎么求这个b呢b就是当x=0时y的值x=0时y=2000所以b=2000这个可能有点难