函数的单调性

1.3.1函数的单调性观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？实例引入①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x;①从左至右图象上升还是下降?_______②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．实例引入上升(-∞，+∞)增大画出下列函数的图象，观察其变化规律：（2）f(x)=x2．①在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．实例引入减小(-∞，0)增大[0，+∞)从上面的观察分析，能得出什么结论？函数的单调性从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性．以二次函数f（x）＝x2为例，列出x，y的对应值表．函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…对比函数f（x）＝x2的图象和列出的x，y的对应值表格，你能发现什么？函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间(－∞，0]上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小；函数的单调性x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大；如何利用函数解析式f（x）＝x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小．”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．”?函数的单调性对于二次函数f（x）＝x2，我们可以这样来描述“在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大．”：在区间（0，+∞）上，任取两个，，得到，，当时,有，这时，就说函数f（x）＝x2在区间（0，+∞）上是增函数．1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf函数的单调性你能仿照这样的描述，说明函数f（x）＝x2在区间(－∞，0]上是减函数吗？对于二次函数f（x）＝x2，我们可以这样来描述“在区间（－∞，0］上，随着x的增大，相应的f(x)反而减小．”：在区间（－∞，0］上，任取两个，，得到，，当时,有，这时，就说函数f（x）＝x2在区间（－∞，0］上是减函数．1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I:函数的单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（increasingfunction）．一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasingfunction）．函数的单调性如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．函数的单调性在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));注意：对函数单调性的理解2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;3.学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.154.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质。①这个区间可以是整个定义域②这个区间也可以是定义域的真子集）5.单调性讨论必须在一个区间上。6.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可以不包括也可以，但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点）(如y=y=1／x)12x167.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不具有单调性（如y=2，y=x(x∈0,1,2))8.函数单调性定义中的,，必须满足任意性，不可以随意取两个特殊值。函数单调性的几何意义：单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升单调减区间：在定义区间上图像从左到右下降1x2x172、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数．想一想判断下列说法是否正确12xx1、如果对于区间（a，b）上存在，使得则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。12f(x)f(x)3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当时，有则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。12axx......b12))f(a)f(xf(x......f(b)4、若f(x)是R上的增函数，且,则。12()()fxfx12xx错误错误错误正确18三、单调区间的求法：（1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断它们的单调性，写出其单调区间（2）图像法：能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间。（3）定义法：有些函数不能作出图像，也不能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调区间，对于抽象函数单调性判断的方法19直观法看常见函数的单调性及单调区间1.一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y＝kx＋b的单调性由参数k决定：当k＞0时，该函数在R上是增函数；当k＜0时，该函数在R上为减函数．(2)反比例函数y＝kx(k≠0)的单调性如下表所示：k的符号单调区间k＞0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减k＜0在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增20(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性以对称轴方程x＝－b2a为分界线.a＜0在(－∞，－b2a)上单调递增，在(－b2a，＋∞)上单调递减a＞0在(－∞，－b2a)上单调递减，在(－b2a，＋∞)上单调递增2.当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，如(－1，2)，(3，＋∞)等．21例1：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2解：y＝f（x）的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是减函数，在[－2，1），[3，5）上是增函数.)(xfy依据函数图象给出单调区间1.如图1－3－1是定义在区间[－4，7]上的函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－123例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间典型例题分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可．Vkp例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp典型例题证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1V2，则例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．Vkp21122121VVVVkVkVkVpVp由V1,V2∈（0，+∞）得V1V20；由V1V2,得V2－V10．021VpVp又k0，于是21VpVp即所以，函数是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．,0,VVkp取值作差变形定号下结论定义法判断函数单调性的四个步骤27试证明函数f(x)＝x＋9x在(0，3)上的单调性．【证明】任取x1，x2∈(0，3)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋9x1－x2－9x2＝（x1－x2）（x1x2－9）x1x2.又∵0x1x23，∴x1－x20，x1x2－90，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)＝x＋9x在(0，3)上为减函数．28函数单调性的应用已知函数f(x)＝kx2－4x－8在[5，20]上是单调函数，求实数k的取值范围．【思路探究】首先对二次项系数k是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．29【自主解答】当k＝0时，f(x)＝－4x－8，其在[5，20]上是单调减函数，所以k＝0符合题意．当k≠0时，有两种情况：①k0时，要使f(x)在[5，20]上单调，必有5≥2k或20≤2k，即k≥25或0k≤110.②k0时，显然[5，20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k0成立．综上可知，实数k的取值范围是{k|k≤110或k≥25}．30已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)f(5＋6a)，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意得，4a－35＋6a，即a－4.【答案】(－∞，－4)．31因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．【错解】函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．32【防范措施】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－333本节课主要学习了以下内容：知识小结2．根据定义证明函数的单调性的主要步骤．1．函数的单调性及单调区间的概念；