圣维南方程组推导(Harry)

一维圣维南方程组简易推导圣维南（SaintVenant）方程组：{𝜕𝐴𝜕𝑡+𝜕𝑄𝜕𝑥=𝑞(𝑥,𝑡)1𝑔𝜕𝑣𝜕𝑡+𝑣𝑔𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑧𝜕𝑥=−𝜏𝛾𝑅圣维南方程组由水量平衡连续方程和动力方程构成，现推导如下：1、水量平衡连续方程：𝜕𝐴𝜕𝑡+𝜕𝑄𝜕𝑥=𝑞(𝑥,𝑡)思路：质量守恒推导过程：图1流量平衡控制单元由图所示，根据连续性原理（质量守恒定律）易知：图1-a与图1-b的质量m必定相等。则在时间间隔∆t中有：∆m=𝜌𝑤∙∆𝑉=𝜌𝑤∙𝐴∆𝑥𝜌𝑤∙𝐴∆𝑥=𝜌𝑤∙{[𝑄(𝑥)−𝑄(𝑥+∆𝑥)]∙∆𝑡+(𝑃−𝐸)∙𝑏∆𝑥∙∆𝑡+𝑞(𝑥,𝑡)∆𝑥∙∆𝑡}以上各式中：𝐴、𝑏—流量单元断面面积、宽（𝑚2、m）∆𝑥—∆t内流过的路程（m）𝑞(𝑥,𝑡)—∆t内的旁侧入流量（𝑚3/𝑠∙m）𝜌𝑤—水密度（1000kg/𝑚3）𝑃、𝐸—降水、蒸发量（𝑚3/𝑠∙𝑚2）左右两边同时除以𝜌𝑤、∆𝑥∆𝑡，则有：𝐴∆𝑡=𝑄(𝑥)−𝑄(𝑥+∆𝑥)∆𝑥+(𝑃−𝐸)∙𝑏+𝑞(𝑥,𝑡)又令∆t→0，∆x→0，则有：𝜕𝐴𝜕𝑡=−𝜕𝑄𝜕𝑥+(𝑃−𝐸)∙𝑏+𝑞(𝑥,𝑡)通常地，忽略P、E，则得到证明方程：𝜕𝐴𝜕𝑡+𝜕𝑄𝜕𝑥=𝑞(𝑥,𝑡)（证毕）2、动力方程：1𝑔𝜕𝑣𝜕𝑡+𝑣𝑔𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑧𝜕𝑥=−𝜏𝛾𝑅方程为：一阶非线性双曲型偏微分方程，称之为动力方程、动量方程或能量方程，可见推导方法多样。利用动量方法时，由于洪水波运动时，河流流速𝑣同时是时间𝑡的函数和河长𝑥的函数，相应的动量需要考虑时间和空间的动量变化（局地动量和迁移动量），很容易出错且较难理解，这里采用一个简易的方法进行推导。思路：𝐹合=𝑚𝑎推导过程：图2河流单元示意图如图所示：𝐹合=𝐹压+𝐺𝑥−𝑓阻式中：𝐺𝑥—水元素总重量沿河分量（N）其中：𝑓阻=𝜏𝜒∆𝑥式中：τ—单位面积上的阻力（N/𝑚2），可按Chazy公式计算χ—湿周（m）综上：𝐹合=𝑃∙𝑑𝐴−(𝑃+𝑑𝑃)∙𝑑𝐴+𝜌𝑤𝑔∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙𝑠𝑖𝑛𝛼−𝜏𝜒∆𝑥又：𝑃=𝛾ℎR=Aχ式中：𝛾—容重（𝑁𝑚3⁄），𝛾=𝜌𝑔ℎ—水深（𝑚）𝑅—水力半径（𝑚）原式整理得：=−𝛾∙𝑑𝐴∙𝑑ℎ+𝛾∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙𝑠𝑖𝑛𝛼−𝛾∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙𝜏𝛾𝑅=𝛾∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑑ℎ∆𝑥−𝜏𝛾𝑅)对于𝐹合=𝑚𝑎右边，有：m𝑎=𝜌𝑤∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙𝑑𝑣𝑑𝑡因为𝑣=𝑣(𝑥,𝑡)，故令：𝑑𝑣=∂𝑣∂𝑥∙𝑑𝑥+∂𝑣∂𝑡∙𝑑𝑡则原式：=𝜌𝑤∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙（∂𝑣∂𝑥∙𝑣+∂𝑣∂𝑡）综上，左边等于右边：𝜌𝑤∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙(∂𝑣∂𝑥∙𝑣+∂𝑣∂𝑡)=𝛾∙𝑑𝐴∙∆𝑥∙(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑑ℎ∆𝑥−𝜏𝛾𝑅)1𝑔（∂𝑣∂𝑥∙𝑣+∂𝑣∂𝑡）=(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑑ℎ∆𝑥−𝜏𝛾𝑅)由数学知识易得∆𝑥=𝑑𝑥，则简单移项有：1𝑔∂𝑣∂𝑡+𝑣𝑔∂𝑣∂𝑥+（𝑑ℎ𝑑𝑥−𝑠𝑖𝑛𝛼）=−𝜏𝛾𝑅注意到：ℎ为河深，高程z=𝑧0+ℎ，𝑧0为渠底高程，则：dz=d𝑧0+𝑑ℎ𝑑𝑧𝑑𝑥=𝑑𝑧0𝑑𝑥+𝑑ℎ𝑑𝑥式中：𝑑𝑧0𝑑𝑥=𝑧下−𝑧上𝑑𝑥=−𝑡𝑎𝑛𝛼一般地，α极小，有𝑡𝑎𝑛𝛼≈𝑠𝑖𝑛𝛼，故原式为：1𝑔𝜕𝑣𝜕𝑡+𝑣𝑔𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑧𝜕𝑥=−𝜏𝛾𝑅（证毕）P.S.利用能量方程推第二个方程，我还不太会；另外还有一些不懂的地方，希望多多指教！