优质课竞赛《等比数列》课件

2.4.1等比数列学习目标1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.引例：①如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816…庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：引例：引例：③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：120202203…引例：④除了单利，银行还有一种支付利息的方式——复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率）存期。现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：100001.01982100001.01983100001.01984100001.01985100001.0198,,,,,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数；我们给具有这种特征的数列一个名字——等比数列一、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）。na1nnaqa)(*Nn为非零常数）q(是等比数列，则.能否改写为若数列的项依次满足na)(*Nn为常数）q(则数列是等比数列吗？qaann1如写成行不行？qaann1*(2,)nnN范例讲解例1：已知数列的通项公式为试问这个数列是等比数列吗？na1132232nnnnaa解：因为当时，所以数列是等比数列，且公比为2.nanna232n请同学们逆向思考这个问题？二、等比数列的通项公式：法一：不完全归纳法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa……由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等比数列等差数列daa12daa213daa314……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1类比时上面等式也成立均不为零，当与其中11nqa二、等比数列的通项公式：累乘法qaa12qaa23qaa34……11nnqaaqaann1共n–1项×）等比数列法二：叠加法daa12daa23daa34……dnaan)1(1daann1+）等差数列类比1111nnmmaaqaaq解：由等比数列的通项公式可知　　　　nmqnma两式相除，得anmnmaaq　n-1n1a=aqnmnmaaq试比较　　与等比数列通项公式的变形已知等比数列的公比为q,第m项为,求.mana(2)1，3，9，27，81，243，…(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…(1)2，4，8，16，32，64.1222nnna11133nnna1111()()222nnna1515nna1(1)nna1111(4),,,,24816思考：下面数列的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？等比数列的图像是其相应相应函数图象上一些孤立的点，当，其图像可看作是非零常数与指数函数乘积数所得函数图象上的一些孤立的点nnnqqaqaa111时且10qqa1nqy发现思考：你能通过对公比的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？当时，该数列为递增数列当时，该数列为递增数列当时，该数列为递减数列当时，该数列为递减数列当时，该数列为非零常数列当时，该数列为摆动数列101qa,1101qa,101qa,100qa,101qa,0qq三.等比中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。abGabG2即例2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?开始A=1n=1A=1/2An=n+1n5?输出A结束否是范例讲解123,(),,......,aAaa解：若将打印出来的数依次记为即11a则：，2111,22aa3211,24aa4311,28aa5411,216aa111,1(1)2nnaaan可得递推公式：112nnaa由于，这个数列是等比数列，其通项公式为:n112na（）开始A=1n=1A=1/2An=n+1n5?输出A结束否是例3、已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20.解：由a15=a5q10，得4120551510aaq215q25252152051520aqaa或范例讲解思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现a5,a10,a15,a20…恰好构成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,18,1243aa18123121qaqa即解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是.8316与11nnqaa82331612qaa316a123q例4．一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．思考与讨论：对于例3中的数列，你是否发现与相等你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？41aa32aa课堂练习：课本练习1、2。补充练习（1）一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项；（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。9431小结1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：，（n≥2，n∈N）；2、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用；)0(1qqaann)0(111qaqaann