二次根式及一元二次方程复习及练习

1/15二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如ab（a≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a≥0.2.二次根式的基本性质（1）a_____0（a___0）；（2）2a＝_____（a___0）；（3）aa2＝0_____0_____aa；（4）ab_________（a___0，b___0）；（5）ab_________（a___0，b___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）乘法法则：a·b=______（a___0，b___0）；（2）除法法则：ab_______（a___0，b___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用aa200aaaa进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53≠8；2/15（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1二次根式有意义的条件例1若式子43x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≥34B.x＞34C.x≥43D.x＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2二次根式的性质例2下列各式中，正确的是（）A.332B.332C.332D.332方法总结：aa2成立的条件是a≥0，而在化简2a时，先要判断a的正负情况.3二次根式的非负性例3已知32552xxy，则xy2的值为（）A.—15B.15C.215D.215方法总结：二次根式a（a≥0）具有双重非负性，即a≥0、a≥0.4最简二次根式例4下列二次根式中，最简二次根式是（）A.51B.5.0C.5D.50方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.5二次根式的运算例5计算1824×31＝____.3/15适用能因式分解的方程适用无一次项的方程方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6二次根式的化简求值例6若120142013m，则34520132mmm的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。例1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（）A、212xxB、267xC、225xyD、23520xx2、一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca二次项：，一次项：，常数项：。二次项系数：，一次项系数：。例2、（1）、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是；二次项是一次项是，常数项是。（2）.关于x的一元二次方程22120axx是一元二次方程，则a满足（）A.1aB.1aC.1aD.为任意实数（3）、若方程013)2(||mxxmm是关于x的一元二次方程，则（）A．2mB．m=2C．m=—2D．2m（4）、下列方程中,常数项为零的是()A.x2+x=1B.2x2-x-12=12；C.2(x2-1)=3(x-1)D.2(x2+1)=x+23.．一元二次方程的解法1、因式分解法①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、直接开平方法)0(2aax3、配方法①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项（移项要变号）②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方④开平方：注意别忘根号和正负axax21)0(2aabx解两个一元一次方程abx4/15②方程：解两个一元一次方程4、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42，④若b2-4ac＜0，则原方程无实数解⑤若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式24x=2bbaca求解⑥若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa求解。例4、（1）、若关X的一元二次方程036)1(2xxk有实数根，则实数k的取值范围（）A.k≤4,且k≠1B.k＜4,且k≠1C..k＜4D.k≤4（2）.已知一元二次方程已知一元二次方程02cbxax，若0cba，则该方程一定有一个根为（）A.0B.1C.-1D.2（3）.关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是()A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根D、没有实数根（4）.关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a值为（）A、1B、1C、1或1D、12（5）.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是()A.k-74B.k≥-74且k≠0C.k≥-74D.k74且k≠0例5、(1)利用因式分解法解下列方程(x－2)2＝(2x-3)23(1)33xxx0165852xx(2)、利用开平方法解下列方程4（x-3）2=2524)23(2x51)12(212y5/15(3)、利用配方法解下列方程25220xx(4)、利用公式法解下列方程－3x2＋22x－24＝02x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=05、根与系数的关系：20(0)axbxca12bxxa12cxxa例5、（1）.已知是方程的两个根，则等于__________.（2）、已知一元二次方程01322xx的两根为1x、2x，则21xx（3）、已知1x，2x是方程2630xx的两实数根，则2112xxxx的值为______（4）已知方程222(2)40xmxm两根的平方和比两根的积大21，求m的值。6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）（1）二次三项式的因式分解①若一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根为x1，x2，则二次三项式)0(2acbxax在实数范围内可分解因式写成：))((212xxxxacbxax012632xxxx12，xx22101112xx039922xx6/15②当acb42＞0，二次三项式在实数范围内分解因式为：))((212xxxxacbxax当acb42=0，二次三项式在实数范围内分解因式为：212)(xxacbxax当acb42＜0，二次三项式在实数范围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程，这个方程可以是（2）已知方程06222mxx的一个根为-2，则m=，它的另一个根是（3）已知关于x的方程0112)21(2kxxk有两个不相等的实数根，则k的取值范围是2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：（1）3522xx(2)22253yxyx(3)5)2(3)2(22yxyx3、已知关于x的一元二次方程0122axx没有实数根，试判断关于x的一元二次方程12aaxx根的情况，并说明理由。4、已知关于x的一元二次方程02)2(22kxkx有两个相等的实数根，求k的值及这时方程的根。7/155、已知m，n为实数，且20)1)((2222nmnm，23mn，求2)(nm及2)(nm的值？6、求证：不论k为何值，关于x的方程03)12(2kxkx总有两个不相等的实数根。7、一元二次方程01122mxxm有一个解为0，求12m的值。8、一元二次方程的实际应用例6、（1）、某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是x，则列出的方程是（）（A）72150x（B）721501502xx（C）722150x（D）721502x（2）、原价a元的某商品经过两次降价后，现售价b元，如果每次降价的百分比都为x，那么下列各式中正确的是（）bxaA21；bxaB21；axbC21；axbD21。（3）、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？8/15（4）.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？（5）.关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?（1）一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今天每台售价为12150元，每年降价的百分率相同.（1）求每年降价的百分率是多少？（2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的，那么与今年的售价相比，她多付了多少元？（6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信.已知全公司共发出短信870条，求该公司员工的人数.9/15（7）如图，某单位需要建一个面积为1200平方米飞矩形仓库，计划利用一段50米长的旧墙，新墙只围三边，已知每建造1米新墙需要用500元，建造顶棚等其他费用为1万元，设当被利用的旧墙长度为x米时，仓库的总建设费用为y万元.(1)求y关于x的函数解析式及其定义域.(2)当建设费用为6万元时，求被利用的旧墙的长度是多少米？(8)今年来由于受到国际石油市场的影响，汽油的价格不断上涨.请你根据下列两位的对话，帮助小明计算一下2006年5月份汽油每升的价格.2006年5月份的汽油价格四2005年5月份汽油价格的1.6倍，用150元给汽车加的油量比2005年少18.75升.2006年5元份的汽油每升价格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法综合练习