高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

1线面角的求法1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。BMHSCA解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平面ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影。∠SCH为SC与平面ABC所成的角。sin∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1D所成的角。A1C1D1H4CB123BAD2解：设点B到AB1C1D的距离为h，∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，易得h=12／5，设AB与面AB1C1D所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5，∴AB与面AB1C1D所成的角为arcsin0.83.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，BαOAC图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为，则易知：1||||cosABAO，212||||cos||coscosACABAO又∵||||cosACAO，可以得到：12coscoscos，注意：2(0,)2（若22，则由三垂线定理可知，OAAC，即2；与“AC是平面内的任意一条直线，且BCAC，垂足为C”不相符）。易得：1coscos又1,(0,)2即可得：1．则可以得到：（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。说明：1．若a，则规定a与所成的角是直角；2．若//a或a，则规定a与所成的角为0；3．直线和平面所成角的范围为：090；4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12coscoscos）。例3（如图4）已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°,，求直线OA与面OBC所成的角的余弦值。OαDACB21OCBA3解：∵∠AOB=∠AOC∴OA在面OBC内的射影在∠BOC的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC，∴cos60°=cos∠AOD·cos30°∴cos∠AOD=√3／3∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／3。2．例题分析：例1．如图，已知AB是平面的一条斜线，B为斜足，,AOO为垂足，BC为内的一条直线，60,45ABCOBC，求斜线AB和平面所成角。解：∵AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，又∵12coscoscos，∴coscos60122coscoscos45222ABCABOCBO，∴45BAO，即斜线AB和平面所成角为45．例2．如图，在正方体1AC中，求面对角线1AB与对角面11BBDD所成的角。〖解〗（法一）连结11AC与11BD交于O，连结OB，∵111DDAC，1111BDAC，∴1AO平面11BBDD，∴1ABO是1AB与对角面11BBDD所成的角，在1RtABO中，1112AOAB，∴130ABO．（法二）由法一得1ABO是1AB与对角面11BBDD所成的角，又∵112coscos452ABB，116cos3BBBBOBO，∴11112cos32coscos263ABBABOBBO，∴130ABO．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21coscoscos求线面角显得更加方便。例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。解：过A作AO平面BCD于点O，连接,,COBODO，∵ABACAD，∴O是正三角形BCD的外心，设四面体的边长为a，则33COa，∵90AOC，∴ACO即为AC与平面BCD所成角，OCBAODCBA1B1A1CABC1DDO4∴3cos3ACO，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为33．2．如图，已知PA正方形ABCD所在平面，且24,610PCPBPD，求PC和平面ABCD所成的角。APCBABCDP567