2013届高考文科数学一轮复习考案2.6 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选考点考纲解读1对数的运算理解对数的概念,掌握对数的运算性质.2对数函数掌握对数函数的概念、图象和性质.  常考查对数函数的图象和性质,如定义域问题、真数与底数、单调性、比较大小、解对数不等式、与导数函数结合、与数列结合等问题.大题主要以结合导数为主.考查形式上选择题、填空题、解答题均有可能.高考中客观题常考查对数的运算性质,对数的真数与底数,对数函数的单调性等基本知识,一般是中低档题,主观题中常考查对数的综合应用,如与数列的结合试题等.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 1.对数及运算法则(1)对数的概念:如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.当底数为10时,称为常用对数,记作x=lgN;当底数为无理数e时,称为自然对数,记作x=lnN.(2)运算法则:如果a0,且a≠1,N0,M0,有①loga(MN)=logaM+logaN;考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选②loga =logaM-logaN;③lo Mm= logaM.(3)常用公式:MNgnamn①指对互化公式ab=N⇔logaN=b;②对数恒等式 =N;③换底公式logaM= (m0,且m≠1).2.对数函数的图象及性质logaNaloglogmmMa考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选y=logaxa10a1图象  考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选性质定义域:(0,+∞)值域:R奇偶性:非奇非偶函数过定点(1,0)当x∈(0,1)时,y0,当x∈(1,+∞)时,y0当x∈(0,1)时,y0,当x∈(1,+∞)时,y0在(0,+∞)是增函数在(0,+∞)是减函数3.指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=( )lnx,c=elnx,则 ()(A)cba.(B)bac.(C)abc.(D)bca【解析】c=elnx=x∈(e-1,1),a=lnx∈(-1,0),b=( )lnx∈(1,2),所以bca.【答案】D1212考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测)“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的()(A)充分必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分不必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】显然函数f(x)=lg(x+1),f(x)=lg(2x+1)在(0,+∞)上均单调递增,所以“a=1”是“函数f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)单调递增”的充分不必要条件.【答案】C考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3.(2011年山东省济宁市模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,f( )=0,则满足f(lo x)0的x的取值范围是 ()(A)(0,+∞).(B)(0, )∪(2,+∞).(C)(0, )∪( ,2).(D)(0, ).【解析】由f(x)=f(-x)=f(|x|)得f(|lox|)f( ),于是|lo x| ,解得0x 或x2.【答案】B1318g1218121218g1318g1312考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4.(重庆七区2011届第一次联考)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2010)+f(2011)的值为 ()(A)-2.(B)-1.(C)1.(D)2.【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-2010)=f(2010),∵对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),∴f(2010)=f(2×1005)=f(0)=log2(0+1)=0,f(2011)=f(2×1005+1)=f(1)=log22=1.∴f(-2010)+f(2011)=1.【答案】C考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选题型1对数与对数函数的基本知识点 例1(1)函数y=log(5-x)(2x-3)的定义域为.(2)已知f(x)=lo [3-(x-1)2],则f(x)的值域为.【分析】(1)对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.13g(2)真数3-(x-1)2≤3,而y=lo x在(0,+∞)为减函数,可得出函数f(x)的值域.13g【解析】(1)由题知 即5051,230xxx且考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)(x-1)2≥0,∴-(x-1)2≤0,∴3-(x-1)2≤3,∴f(x)≥lo 3=-1.则f(x)的值域为[-1,+∞).13g 得 x5且x≠4.54,3,2xxx且32【答案】(1){x| x5,且x≠4}(2)[-1,+∞)【点评】定义域、值域、单调性是对数函数的基本性质,三个小题均属基础试题,难度不大.32考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)函数y= +lg(5-3x)的定义域为.lgx(2)函数y= 的值域为.【解析】(1)由题知 ∴1≤x .1lnxlg0,530,xx53(2)由题意知lnx≠0,y≠0,∴y= 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).【答案】(1)[1, )(2)(-∞,0)∪(0,+∞)1lnx53考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例2设a=lo 2,b=lo  ,c=( )0.3,试比较a,b,c的大小.【分析】本题要求掌握对数函数与指数函数的性质,能根据具体情况找到中间值.【解析】∵lo 2lo 1=0,∴a0.∵lo  lo  =1,∴b1.∵0( )0.31,∴0c1,综上知acb.【点评】利用函数图象的单调性,即利用数形结合找到中间值来解决问题,并结合指数和对数两个知识点,故需要一定的综合分析问题13g12g131213g13g12g1312g1212题型2利用对数与对数函数的性质比较大小的能力.也可以画出函数的图象来分析解决问题.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练2设a=ln ,b=lnπ,c=( )lnπ.则 ()(A)abc.(B)bac.(C)cab.(D)bca.【解析】b=lnπ1,c=( )lnπ∈(0,1),a=ln =1-lnπ0,∴bca.【答案】De1212e考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例3已知函数f(x)=logax(a0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.【分析】对数函数结合了绝对值与恒成立两个常考点,需讨论a的取值,从而去掉绝对值,结合不等式再分别求出相应的a的取值范围.【解析】当a1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)0.所以|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.题型3对数函数与参数的综合考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选只要loga3≥1=logaa即可,∴1a≤3.当0a1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)0,∴|f(x)|=-f(x).∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可,考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选∴loga3≤-1=loga ,即 ≤3,∴ ≤a1.综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是(1,3]∪[ ,1).【点评】本题需要用分类讨论的思想,去掉绝对值,对恒成立进行转化,从而解决问题.本题可以直接去掉绝对值,即|f(x)|≥1⇔f(x)≥1或f(x)≤-1,再进行分析解决问题.1a1a1313考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选变式训练3若函数y=-log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1- )上是增函数,求a的取值范围.【解析】令u=g(x)=x2-ax-a,∵函数y=-log2u为减函数,∴u=g(x)=x2-ax-a在区间(-∞,1- )上递减,且满足u0,∴ 解得2-2 ≤a≤2,所以a的取值范围为[2-2 ,2].3313,2(13)0ag33考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.注意运用对数的底数与真数的取值范围解决相关问题.2.结合对数函数的单调性及对数函数的图象解决相关问题.3.对数函数的综合问题需要运用方程,数形结合,化归的思想. 考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选1.(2011年安徽卷)若点(a,b)在y=lgx图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是 ()(A)( ,b).(B)(10a,1-b).(C)( ,b+1).(D)(a2,2b).【解析】由题意b=lga,2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函数y=lgx的图象上.【答案】D1a10a考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2.(2011年江西卷)若f(x)= ,则f(x)的定义域为 ()(A)(- ,0).(B)(- ,0].(C)(- ,+∞).(D)(0,+∞).【解析】lo (2x+1)0,∴02x+11,∴- x0.【答案】A(21)121logx12121212g12考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例1已知偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程g(x)=f(x)-log3|x|的零点个数是.【解析】这里需注意函数的奇偶性和周期性的应用及数形结合的思想方法的运用,关键是作图时明确当x3时,log3x-f(x)0恒成立,此时两曲线没有交点,如图,易知两函数在(0,+∞)上有两个不同的交点,又由于两函数为偶函数,由对称性可知共有4个交点.【答案】4考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选 例2设a、b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg 在区间(-b,b)上有f(-x)=-f(x).112axx(1)求a的值;(2)求b的取值范围;(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.【解析】(1)由f(-x)=-f(x)可得lg =-lg ,即 = ,整理得:1-a2x2=1-4x2,∴a=±2,又a≠2,故a=-2.112axx112axx112axx121xax考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选(2)f(x)=lg 的定义域是(- , ),∴0b≤ .(3)f(x)=lg =lg =lg(-1+ ).∴函数在定义域内是单调递减的.1212xx1212121212xx(12)212xx212x考纲解读命题预测知识盘点