浅谈正定二次型的判定方法

第1页共13页浅谈正定二次型的判定方法摘要二次型与其矩阵具有一一对应关系,可以通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用.本文主要通过正定二次型的定义，实矩阵的正定性的定义，特征值法，矩阵合同以及相应的推导性质来判定二次型的正定性。关键词二次型矩阵正定性应用1引言在数学中，二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题.现在二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，下面将用二次型的性质来求函数的最值和证明不等式因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.2二次型的相关概念2.1二次型的定义设p是一个数域，ijap，n个文字1x,2x,…，nx的二次齐次多项式22121111212131311(,,,)22nnnnnnijijijfxxxaxaxxaxxaxaxx),...,2,1,,(njiaajiij称为数域上p的一个n元二次型，简称二次型.当ija为实数时，f称为实二次型.当ija为复数时,称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)nfxxx=2221112...nndxdxdx称f为标准型.定义1在实数域上，任意一个二次型经过适当的非退化线性替换可以变成规范性22222121zzzzzppr…………,其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数，负平方项的个数称为的f负惯性指数.第2页共13页2.2二次型的矩阵形式二次型12(,,...,)nfxxx可唯一表示成12(,,...,)nfxxx=TxAx，其中12(,,...,)Tnxxxx，()ijnnAa为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的秩.2.3正定二次型与正定矩阵的概念定义2.3.1设12(,,...,)nfxxx=TxAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,nccc都有12(,,...)0nfccc，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果12(,,...)0nfccc，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果12(,,...)0nfccc，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果12(,,...)0nfccc，称f为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵.定义2另一种定义具有对称矩阵A的二次型,AXXfT(1)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，则称AXXfT为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，且有非零向量0X，使000AXXT，则称AXXfT为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.定义3n阶矩阵)(ijaA的k个行标和列标相同的子式)1(21212221212111niiiaaaaaaaaakiiiiiiiiiiiiiiiiiikkkkkk称为A的一个k阶主子式.而子式第3页共13页),,2,1(||212222111211nkaaaaaaaaaAkkkkkkk称为A的k阶顺序主子式.3实二次型正定的判别方法及其性质定理1实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明设实二次型AXXxxxfn),,,(21经线形替换PYX化为标准形2222211nnydydydf)1(其中.,,2,1,niRdi由于p为可逆矩阵,所以nxxx,,,21不全为零时nyyy,,,21也不全为零,反之亦然.)(如果f是正定二次型,那么当nxxx,,,21不全为零,即nyyy,,,21不全为零时,有02222211nnydydydf)2(若有某个),1(nidi比方说.0nd则对1,0121nnyyyy这组不全为零的数,代入)1(式后得.0ndf这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0nidi即f的正惯性指数等于n)(如果f的正惯性指数等于,n则),,2,1(,0nidi于是当nxxx,,,21不全为零,即当nyyy,,,21不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是对任何n维实的非零列向量X必有0AXX证明)(由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QYX使第4页共13页22221nyyyAXX)1(对,0X因Q非奇异,故,0Y于是由)1(可知0AXX)(设AXX的秩与正惯性指数分别为r与,p先证,pr如,rp则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QYX使得221221'rppyyyyAXX)2(由假设,对任何,0,0AXXX但对列向量0)0,,0,1,0,,0(QX（因Q是非奇异阵,1是X的第1p个分量）却有01AXX这与假设矛盾.故pr.再证nr.如果,nr则)2(式应化为nryyyAXXr,22221')3(于是取0)1,0,,0(QX由)3(即得,0AXX又与假设矛盾,故,pnr即f是正定二次型定理3实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理1可知f的正惯性指数为n，则二次型AXXxxxfn),,,(21可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nnyyyxxxf)(f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf,则f的正惯性指数为,n由定理1可知f为正定二次型定理4实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A与单位矩阵合同第5页共13页证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf此即存在非退化线形替换(CYX其中C可逆),使得2222121)()(),,,(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf所以,EACC因此矩阵A单位矩阵合同)(矩阵A单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C使得EACC，令CYX则2222121)()(),,,(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的主子式全大于零证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,以kA表示A的左上角k阶矩阵,下证),,,2,1(,0nkAk考虑以kA为矩阵的二次型jkikjiijkxxaxxxg1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121kkxxxfxxxg所以当kxxx,,,21不全为零时,由f正定二次型可知,0g从而g为正定二次型,故.0kA)(对二次型的元数n作数学归纳法当1n时,,)(21111xaxf因为,011a所以f正定,假设,1n且对1n元实二次型结论成立由于,01111aa用111aai乘A的第1列到第i列,再用111aai乘第A的第1行到第i行),,,3,2(ni经此合同变换后A,可变为以下的一个矩阵第6页共13页0000111AaB因为矩阵A与B合同,所以B是一个n阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A的主子式的值,因此B,的主子式也全大于零,而B的)2(nkk阶主子式等于1A的1k阶主子式乘以,11a并且011a于是1A的主子式全大于零,由归纳假设,1A与1nI合同,所以A与单位矩阵合同,此即f是正定二次型定理6实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的顺序主子式全都大于零证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理5可知A的主子式全大于零,所以A的顺序主子式也全大于零.)(对二次型的元数n作数学归纳法当1n时,,)(21111xaxf由条件知,011a所以)(1xf是正定的.假设充分性的判断对于1n元的二次型已经成立,现在来证n元的情形.令1A=1,11,11,111nnnnaaaannnaa,11于是矩阵A可以分块写成：A=nnaA1则1A的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A是正定矩阵则存在可逆的1n阶矩阵,G使得1nEAGG令1C=100G于是nnnnnaGGEGaAGACC1111100100第7页共13页再令2C=10'1aGEn则有GGaECACCCnnn0012112令21CCCdGGann就有dACC11两边取行列式,dAC2,则由条件,0A因此0d.ddd111111111所以矩阵A与单位矩阵合同,因此A是正定矩阵即f是正定二次型定理7实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵TTTA(是实可逆矩阵)证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C使得EACC则1111)()(CCCCA令1CT,则TTA)(若,TTA则)()(),,,(21TXTXTXTXAXXAXXxxxfn令TXY则2222121),,,(nnyyyYYxxxf所以f为正定二次型.定理8实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是ATT第8页共13页正定矩阵(其中T是实可逆矩阵)证明)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则A是正定阵,令(1YXT其中T可逆)则ATYTYTYATYxxxfn)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYTYxxxfn),,,(21是正定二次型,所以ATT是正定阵)(ATT是正定阵,令ATYTYyyygn),,,(21,则),,,(21nyyyg是正定二次型令TYX则),,,(21nyyygAXXxxxfn),,,(21是正定二次型定理9实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的全部特征值都是正的