高考数学总复习课件12.4 离散型随机变量及其分布列

要点梳理1.离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个_____来表示,那么这样的变量叫做_________;按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做_______________.§12.4离散型随机变量及其分布列随机变量离散型随机变量变量基础知识自主学习(2)设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,…,xn,取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(=xi)=pi,则称表为随机变量的概率分布,具有性质:①pi___0,i=1,2,…,n；②p1+p2+…+pi+…+pn=____.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的__________.x1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn≥1概率之和2.如果随机变量X的分布列为其中0p1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的__________.X10Ppq两点分布3.超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为:P(x=k)=(k=0,1,2,…,m),其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,则称分布列为超几何分布列.nNknMNkMCCCX01…mP…nNmnMNmMCCCnNnMNMCCC11nNnMNMCCC00基础自测1.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.2颗都是4点B.1颗1点,另1颗3点C.2颗都是2点D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点解析由于抛掷1颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和,所以X=4=1+3=2+2表示的随机试验结果是:1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点,故选D.D2.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为()A.25B.10C.7D.6解析X的可能取值为1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9.C3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1，2，3),则P(X=2)等于()A.B.C.D.解析ai291613141.31322)2(,3,1232221XPaaaaC4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于()A.0B.C.D.解析“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,设失败率为p,则成功率为2p.则X的分布列为∴由p+2p=1得213132X01Pp2p.31pC5.一批产品共50件,其中5件次品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率是_____.解析设抽到次品的件数为X,则X服从超几何分布,其中N=50,M=5,n=2.于是出现次品的概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)即出现次品的概率为,245472452499CCCCCC25022550252501255015.2454724547题型一离散型随机变量的分布列【例1】一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球,现从中随机取出3个球,以X表示取出的最大号码.(1)求X的分布列；(2)求X4的概率.先分析随机变量X的可能取值:3,4,5,6,应用古典概型求出X取每一个值的概率,即得X的分布列,求X4的概率即求P(X=5)与P(X=6)的和.思维启迪题型分类深度剖析解(1)X的可能取值为3,4,5,6,从而有：故X的分布列为.21CCC)6(,103CCC)5(,203CCC)4(,201CC)3(3625113624113623113633XPXPXPXPX3456P20120310321求离散型随机变量的分布列步骤是:(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,…,);(2)求出取各值xi的概率P(X=xi)；(3)列表,求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确.探究提高.54105103)6()5()4()2(XPXPXP知能迁移1袋中有3个白球,2个红球和若干个黑球(球的大小均相同)，从中任取2个球,设每取出一个黑球得0分,每取出一个白球得1分,每取出一个红球得2分,已知得0分的概率为(1)求袋中黑球的个数及得2分的概率；(2)设所得分数为,求的分布列..61解(1)设有黑球x个,则(2)可取0,1,2,3,4,∴的分布列为.4,61CC252xxx解得.3611CCCCC)2(2914122923P01234P6131361161361题型二离散型随机变量分布列的性质【例2】设离散型随机变量X的分布列为求：(1)2X+1的分布列；(2)|X-1|的分布列.先由分布列的性质,求出m,由函数对应关系求出2X+1和|X-1|的值及概率.X01234P0.20.10.10.3m思维启迪解由分布列的性质知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.首先列表为：从而由上表得两个分布列为:(1)2X+1的分布列：X012342X+113579|X-1|101232X+113579P0.20.10.10.30.3(2)|X-1|的分布列：利用分布列的性质,可以求分布列中的参数值.对于随机变量的函数(仍是随机变量)的分布列,可以按分布列的定义来求.|X-1|0123P0.10.30.30.3探究提高知能迁移2设随机变量的分布列(k=1,2,3,4,5).(1)求常数a的值；(2)求(3)求解所给分布列为(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得akkP)5();53(P).107101(PPa2a3a4a5a5152535455.151a334(2)()()()(1)5553454.151515532(()1()551241().15155PPPPPP或.)()()()(,,,,)(521531521515352511071015352511071013PPPP故满足只有因为题型三利用随机变量分布列解决概率分布问题【例3】(12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率.(1)是古典概型;(2)关键是确定X的所有可能取值;(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和.思维启迪解(1)方法一“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则3分方法二“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是互斥事件.1分3分.32CCCCC)(31012121235AP.32311)(1)(,31CCCC)(310182215BPAPBP所以因为(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为∴随机变量X的分布列为10分分分分分8.158CCCCCC)5(6,103CCCCCC)4(5,152CCCCCC)3(4,301CC)2(31018223102812310162231026123101422310241231034XPXPXPXPX2345P301152103158(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分~40分时,X的取值为3或4,所以所求概率为在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来,这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到.分12.3013103152)4()3(XPXPP探究提高知能迁移3一批产品共10件,其中7件正品，3件次品,每次从这批产品中任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列.(1)每次取出的产品不再放回去；(2)每次取出的产品仍放回去；(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.解(1)由于总共有7件正品,3件次品,所以，X的可能取值是1,2,3,4,取这些值的概率分别为所以X的概率分布列为.1201778192103)4(,12078792103)3(,30797103)2(,107)1(XPXPXPXPX1234P10730712071201(2)由于每次取出的产品仍放回去,下次取时完全相同,所以X的可能取值是1,2,…,k,…,相应的取值概率是：所以X的概率分布列为.107)103()(,000163107103103)3(,10021107103)2(,107)1(1kkXPXPXPXPX123…k…P……10710021000163107)103(1k(3)与情况(1)类似,X的可能取值是1,2,3,4，而其相应概率为所以X的概率分布列为.50031010101102103)4(,50027109102103)3(,256108103)2(,107)1(XPXPXPXPX1234P1072565002750031.所谓随机变量,就是试验结果和实数之间的一个对应关系,这与函数概念本质上是相同的,只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量X是试验结果.方法与技巧思想方法感悟提高2.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.3.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率.掌握离散型随机变量的分布列,须注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值;第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是:上为“事件”,下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发生的概率.(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.失误与防范一、选择题1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数解析A、B中出现的点数虽然是随机的,但他们取值所反映的结果,都不是本题涉及试验的结果.D中出现相同点数的种数就是6种,不是变量.C整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,共11种结果,但每掷一次前,无法预见是11种中的哪一个,故是随机变量,选C.C定时检测2.随机变量X的概率分布规律为(n=1,2,3,4),其中a是常数,则的值为()A.B.C.D.解析)()(1nnanXP)(2521XP32435465.)()()(,,),,,,()()(656145214521252145120126243211XPXPXPaaaaannnanXPD3.若其中x1x2,则等于()A.B.C.D.解析由分布列性质可有：,1)(21xxP))((11)(1)(11)(11).()()()()()(111111221xPxPxxPB)(,)(121xPxP4.从一批含有13只正品,2只次品的产品中,不放回地任取3件,则取得次品数为1的