基于约束螺旋的自由度求解原理

基于约束螺旋的自由度求解原理高等空间机构学余觉2014年12月10日机构自由度分析的一般公式Kutzbach-Grubler公式空间机构的自由度等于所有运动构件总的自由度减去所有运动副引入的约束数。16(1)giiMnuM机构自由度n构件数g运动副数iu第i个运动副引入的约束数16(1)giiMngfiu（第i个运动副引入的约束数）6iiuf对于平面机构，13(1)giiMngf机构自由度分析的一般公式对于多环空间机构:16giiMfll:独立环路数独立环路数目对于单闭环，运动副数目等于构件数()。增加一条两端都有运动副的开链，形成另一个闭环，则增加的运动副数比增加的构件数多一个。00gn增加i个独立闭环时，所增加的运动副数比所增加的构件数多i个。001(1)1''1llgngngn111ggiiiiMfdldngfd：机构的阶数一般情况下，空间机构：，平面机构：6d3d修正的公式Kutzbach-Grubler按照自由度计算的一般公式：3(561)60M平面五杆平行四边形机构的自由度为1，自由度计算错误！机构中存在相当数量的不起约束作用的过约束。一般的自由度计算公式将这部分自由度重复计算。修正的公式Kutzbach-Grubler116giiMdngfd——机构的阶数；——公共约束数；——多环并联结构在去除公共约束因素后的冗余约束；——机构的局部自由度数。d基于约束螺旋的自由度求解机构运动副的螺旋表达转动副（RevolutePair,R）运动副每个自由度对应一个螺旋（线矢量/偶量）。r00100010RxyzyxabrS线矢量，M=1移动副（PrismaticPair,P）000001PS偶量，M=1基于约束螺旋的自由度求解螺旋副（HelicalPair,H）1212001000000001HabcabcSSSSS旋量，M=1，c:节距r圆柱副（CylindricalPair,C）120010000001CCabSSM=2，c:节距r球面副（SphericalPair,S）基于约束螺旋的自由度求解等效于三个汇交不共面的转动副SRRRM=3万向铰（Universaljoint,U）相当于轴线相交的两个转动副URR平面副（PlanarPair,E）与平面副等效的运动副可以是、、2PRM=22RP3RM=3基于约束螺旋的自由度求解公共约束、冗余约束和局部自由度基于约束螺旋分析机构自由度的原理：用单位螺旋在运动学上描述运动副具有的自由度，则其反螺旋可看做是作用在构件上的力螺旋，两者的互易积表示力对于运动的功率。互易积为零，即作用在构件上的力不做功，相当于约束力。反螺旋与运动螺旋的互易积为零：0rSS公共约束：当机构所有运动副均以运动螺旋表示，它们构成螺旋系，若存在一个与螺旋系中每一个螺旋均相逆的反螺旋，这个反螺旋就是该机构的公共约束。由反螺旋组成的反螺旋系的秩就是该机构公共约束数：mSAAB()({0,})rrmmrankrankBSSSSA将每个运动副具有的自由度表达为运动螺旋将运动螺旋整合为螺旋系A求A的反螺旋系BA的零空间基于约束螺旋的自由度求解公共约束的分析流程：iS12[;]nASSS[;]lrΝN[;]rlBΝN()rankB得到机构的公共约束数对于多环并联机构，当多环形成时再次出现并附件上的过约束，称冗余约束。冗余约束：局部自由度：局部自由度不影响机构输出件的自由度，是一个多余的自由度，一般通过观察获得。基于约束螺旋的自由度求解平面四杆机构自由度分析案例：•依次写出四个转动副的运动螺旋：1222333440010000010001000100ababbSSSS•运动螺旋系A•求A的零空间B000001100000010000B•公共约束螺旋系123001000000100000010rrrSSS公共约束：3单环，无冗余约束；无局部自由度11(63)(441)41giiMdngf：Z方向的约束力：x方向的约束力矩：y方向的约束力矩基于约束螺旋的自由度求解一般并联机构的自由度计算一般并联机构的结构：上平台机构输出件下平台固定件运动支链i运动支链n运动支链1并联机构中：每个分支的所有运动副具有的自由度形成的运动螺旋构成分支螺旋系；与分支螺旋系互逆的反螺旋系表征了该分支机械系统对平台的结构约束。基于约束螺旋的自由度求解公共约束对于并联机构，仅仅当每个分支提供相同的约束螺旋作用于运动平台时，此约束螺旋是一个公共约束。约束螺旋约束力：共轴约束力偶：具有相同的方向冗余约束设并联机构有个分支，每个分支的约束数为（即每个分支反螺旋系矩阵的秩），则平台总的约束数为：；其中包括生成公共约束所需的约束数为，则并联机构中除了与公共约束相关的约束外的约束数为：；此个约束形成系螺旋，即个约束中，个是与个螺旋线性相关的，即冗余约束数：1piiqp1piitqppiqtktktk1piitkqpk基于约束螺旋的自由度求解一般并联机构公共约束和冗余约束分析流程：分支螺旋系1A分支螺旋系iA分支螺旋系pA反螺旋系1B反螺旋系iB反螺旋系pB整理相同的约束螺旋12[;;]CSSS剩余的约束螺旋12[';';']tDSSS()rankC()krankD……公共约束数：冗余约束数：tk……求的零空间iA[;]lrNN[;]irlBNN1piitpq基于约束螺旋的自由度求解平面五杆平行四边形机构自由度分析：12lgn运动螺旋：AD支链BE支链CF支链反螺旋：440010000010ADabSS255001000010BEbabSS366001000010CFbabSS440001000000100010000000ba442000100000010001000/1000abb444000100000010001000/1000abb公共约束：123001000000100000010rrrSSS冗余约束：441/0000000001000000()2343321abkrankDD11(63)(561)611giiMdngf自由度：基于约束螺旋的自由度求解3-RRCR机构自由度分析：yz1121112lgn运动螺旋支链1支链2反螺旋11122345555001000100000010010000000abaabcSSSSS公共约束：冗余约束：33100t11(61)(11121)355giiMdngf123001000rS11222333444555500100001000000000000bababababcSSSSS001000rS11222333444555500100001000000000000bababababcSSSSS001000rS支链3001000rS自由度：x