分数与小数的互化

浦信教育学科教师辅导讲义学员姓名：宋书峰年级：六辅导科目：数学授课次数：授课时间：10-25学科教师：吴国忠课题分数与小数的互化；分数、小数的四则混合运算教学目的1、分数与小数的互化，2、分数、小数的四则运算，3、分数的运用。重难点重点：分数、小数四则运算的顺序及分数的运用；难点：分数与销售的互化；分数、小数的四则运算及分数的运用。教学内容第一课时：问题：有两个月饼，小红和哥哥一人一个，可是两个月饼重量不一样，一个56千克，一个78千克，哥哥想让着小红，吃个小的，但是不知道大小，你能用数学的方法告诉哥哥哪个重吗？【认识新知识】【知识精讲】知识点1小数化成分数1、以小数的位数多少分类：小数的位数有限的叫有限小数；小数的位数无限的叫无限小数，即56千克78千克有限小数分数与小数的互化小数化分数分数化小数无限循环小数无限小数有限小数哪个大呢？、小数化成分数的方法：小数可以直接写出分母是10,100,1000，…的分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。【例1】把下列小数化成分数：0.8,0.25,4.625【例2】将下列小数分别化成最简分数：（1）0.35；（2）0.02；（3）2.135.[解析]：如果是纯小数，原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来的小数去掉小数点作分子；如小数点后有一位小数，则分母是10，小数点后有两位小数，则分母是100，以此类推然后再把分数化成最简分数；如果是混小数，原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来的小数部分作分子，原来的整数部分作带分数的整数部分。【知识点2】分数化成小数1、任何一个分数都可以通过分子除以分母化成小数或整数。当分母是10,100，1000，···的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。2、什么样的分数能化成有限小数？一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数，否则就不能化成有限小数。【例3】把下列分数化成分数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数：74，215，1324，8335.【知识点3】循环小数1、一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。2、一个循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的第一个最小的数字组，叫做这个循环小数的循环节。3、什么样的分数能化成循环小数？分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。【说明】为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环节的首位和末位的数字上面各记一个圆点，如0.3232···的循环节为“32”，写作，对于一个分数来说，它总可以化为有限小数或循环小数；反之，有小数有限小数无限小数循环小数无限不循环小数（即无理数）限小数和循环小数也总可以化为分数。【例4】下列个数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？（1）0.7777；（2）1.12323···；（3）2.343343334···.【例5】将下列分数化成循环小数：（1）833；（2）512；（3）832600.【例5】把127化成循环小数，并指出循环节【知识点4】分数与小数的大小比较比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。【例7】比较下列各组中两个数的大小（1）37180与1.35；（2）130.6620与.[点拨]本例中的分数都可以化为有限小数，因此可用小数大小来比较。【应用与提高】【例1】将下列分数化为小数14，310，625，56，715，915.[点拨]从本例可以归纳总结出分数化有限小数的一般规律：对于一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，没有其他素因数，那么这个分数可以化为有限分数；否则就不能化为有限分数，而是无限循环小数。【例2】将下列数字按从大到小的顺序排列：38，1132，0.38.【例3】比较大小：（1）37和0.75；（2）3.21，23399和3.212.【例4】在数轴上画出以下各数所对应的点：0.4,1.25,3.625.【例5】师徒两人加工一批零件，师傅12分钟做了106个零件，徒弟15分钟做了130个零件，谁的工作效率高？【解析】：先求出每人的工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间，然后比较工作效率的高低。【探究与创新】【例6】将0.6化成分数。【解析】先设x=0.6，再把x扩大10倍，得10x=6.6，然后把两者相减，把循环节去掉，得到9x=6，解得x。【解决疑难问题】1、将分数化成小数时应注意什么？答：分数化成小数时，若不能化成有限小数，应按要求保留小数位数；若没有要求，一般要将分数化成无限循环小数。2、在计算时一定要将数统一成固定形式吗？答：在解决关于数的问题时，数的呈现形式要根据数字本身的特点以及问题的要求特点，自己选择，便于解决问题即可。【方法规律总结】1、一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能够化成有限小数。2、有限小数化成分数：如果是纯小数，原来有几位小数，就在1后面添几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能够约分的就约分；如果是混小数，原来有几位小数，就在1后面添几个0作为分母，原来的小数部分作分子，原来的整数部分作为带分数的整数部分。3、一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字重复不断出现，这个小数叫做循环小数。4、一个循环小数中的小数部分依次不断重复出现的一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。0.333···的循环节是“3”，写作0.3，0.1363636··的循环节是“36”，写作0.361。第二课时：小华体重60千克，由于生病体重减轻了112，后来经过一段时间的调养，体重又增加了112，此时小华的体重已恢复到60千克了吗？如果不是，那么小华的体重是多少千克？【认识新知识】【知识精讲】【知识点1】分数和小数的四则混合运算分数和小数的四则混合运算顺序和正整数的四则混合运算顺序相同。整数的运算定律和运算性质都可以推广到分数和小数，同样适用于分数和小数的四则混合运算。（1）运算顺序同级运算，从左到右依次进行运算；不同级的运算，先乘、除，后加、减；含括号的运算，先算小括号，再算中括号。（2）运算定律（字母a、b、c表示整数、小数和分数）交换律：,abbaabba；结合律：,abcabcabcabc；分配律：abcabac.（3）运算性质减法运算性质：,abcabcabcabc；除法运算性质：,abcabcabcacb.(4)在分数、小数的四则混合运算中，应注意以下几点：①在进行运算之前，应考虑是把分数化为小数，还是把小数化为分数。如果分数能够化为有限小数的，那么化为小数运算比较简单，如果分数不能化为有限小数的，那么只能化为分数运算。②在计算之前，要考虑运算顺序，即先算什么，再算什么。③计算时，要认真审题，看清运算符号和数的特点，灵活选择合理的计算方法，数学中的运算性质、运算律在这方面有较大的作用。通常在分数的计算中，两个分数相加、减时，能“凑整”的可以先算。可用分配律使分母简化的则用分配律计算。乘法中可用交换律的则先用交换律。总之，要根据题中具体数字来考虑如何使运算过程简便，要能运用各种运算律来进行计算。【例1】计算：（1）40.55；（2）10.40.256；（3）34129.3877.混合运算运算顺序运算定律[点拨]：分数、小数的加、减法混合运算的关键是根据题目中各数的特点，选择科学合理的方法进行计算。一般情况下，如果分数能化成有限小数，可把分数化为有限小数后，再进行加、减法的运算较为方便。此外，还要注意观察数的特点，考虑使用运算定律简便运算，如第（3）小题。【例2】计算：（1）272343153；（2）11117131133.【例3】计算：（1）16125925；（2）0.320.250.125；（3）610.12577；（4）37.6÷14×21.[点拨]:乘、除运算属同级运算，一般情况下应当依次计算，否则容易发生差错。如解本例（1），有的学生这样计算：161161625192599。这时忽略了运算顺序而出现的差错，应当引以为戒。避免这类差错最好的办法是把乘、除混合运算转化为连乘运算，这样做不但不容易出错，而且还能避免本例（4）解题过程中的矛盾：如果按顺序计算，在计算37.6÷14时出现除不尽的情况。如果把除以14转化成乘以114，再运用乘法结合律计算，那么就能得到准确的结果。【例4】计算：12511235225775511【应用与提高】【例1】计算：116418.430.9425153.计算：3231.51.2434[点拨]：分数与小数的混合运算，可以把小数化成分数进行运算，也可以把分数化成小数进行运算。要根据具体情况来确定是化成小数还是化成分数进行运算，关键是要使运算简便。【例2】化肥厂第一季度生产化肥425吨，比第二季度产量少465吨，第三季度的产量是第二季度产量的1117倍，求第三季度生产化肥多少吨？[答]：第三季度生产化肥14575。【例4】小刚两天看了一本书的30页，第一天看了比全书的310多8页，第二天看了10页，求这本书共有多少页。[答]：全书共有40页。【探究与创新】【例3】计算：（1）57.82.837；（2）131922.62598；（3）445.63.87.635；（4）315.24.625515.685.【解决疑难问题】在分数、小数的混合运算中，怎样处理数字才能使计算更方便？答：在分数、小数的混合运算中，加减法一般将分数化为小数计算较为方便，乘除法一般将小数化为分数较为方便。此外，在混合运算中要科学合理、正确地使用运算定律，这样才能使运算简便、准确。【方法规律总结】1.掌握分数加减混合运算法则、规律：同时化为小数或者同时化为分数后再计算；如果分数不能够化成有限小数，应同时化为分数。2.带分数加减运算时，可以整数部分与分数部分分别计算，再合并到一起。3.分数、小数乘除的混合运算法则即运算律：（1）带分数化为假分数计算方便；（2）某数除以一个数等于乘以这个数的倒数；（3）乘除混合运算顺序从左到右；（4）能够约分的先约分。4.运算规律歌：第三课时：分数运算的应用把握大方向，算准小地方；运算顺序首先看，乘方乘除后加减；同级运算左到右，乘除混合多留心；能约先约计算快，乘法分配妙处多。年中国将举办北京奥运会，2004年中国政府提出了“节俭办奥运”的新理念，将建造国家体育馆的预算资金调整为26亿元，比原预算节约资金720，问建造国家体育馆原来的预算资金为多少亿元？【认识新知识】【知识精讲】【知识点1】一般数量关系1、逆运算姑息加法：加数+加数=和，和-加数=另一个加数；减法：被减数-减数=差，减数+差=被减数，被减数-差=减数；乘法：因数×因数=积，积÷因数=另一个因数；除法：被除数÷除数=商，除数×商=被除数，被除数÷商=除数。上述关系不必死记硬背，最基本的关系式是“加数+加数=和”，“因数×因数=积”，其他的可以通过列最简方程得到。2、数量关系路程问题：速度×时间=路程；买卖问题：单价×数量=总价。【例1】一根桥桩全长12