向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a读作向量a，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量.A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）.注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；②长度为0的向量叫零向量，记作0奎屯王新敞新疆0的方向是任意的奎屯王新敞新疆注意0与0的区别奎屯王新敞新疆③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1下列各量中不是向量的是（DA.浮力B.风速C.位移D.密度例2下列说法中错误．．的是（A）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.D.例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（D）A.B.C.D.2）向量坐标的有关概念①基本单位向量:在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j.②将向量a的起点置于坐标原点O，作OAa，则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,)xy，它在x轴和y轴上的投影分别为,MN，则,.OAOMONaOAxiyj③向量的正交分解在②中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘上实数,xy后组成的和式，该和式称为i、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)xy叫做向量a的坐标，记为a=(,)xy.一般地，对于以点111(,)Pxy为起点，点222(,)Pxy为终点的向量12PP，容易推得122121()()PPxxiyyj，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)xxyy叫做12PP的坐标，记作12PP=2121(,)xxyy.3）向量的坐标运算：1122(,),(,)axybxy，R则1212121212(,);(,);(,)abxxyyabxxyyaxx.4）向量的模：设(,)axy，由两点间距离公式，可求得向量a的模()norm.22axy.注：①向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；②向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4已知点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(3,0)，且4,3APBP，求点P的坐标.解：点P的坐标为612(,)55或612(,)55.例5已知2(4,3),2(3,4)abab，求a、b的坐标.解：(1,2),(2,1)ab例6设向量,,,,abcR，化简：（1）()()()()abcabcbc；（2）2()(22)2abcabc.解：都为0.2.向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.已知a与b为非零向量，若1122(,),(,)axybxy，则//ab的充要条件是1221xyxy，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().ababxyxy其中为非零实数例7已知向量(2,3)a，点(2,1)A，若向量AB与a平行，且213AB，求向量OB的坐标.解：OB的坐标为(6,7)或(2,5).3.定比分点公式1）定比分点公式和中点公式①12,PP是直线l上的两点，P是l上不同于12,PP的任一点，存在实数，使PP1=2PP，叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：(内分)0(外分)-1(外分)-10②已知111(,)Pxy、222(,)Pxy是直线l上任一点，且PP1=2PP(,1)R.P是直线12PP上的一点，令(,)Pxy，则121211xxxyyy，这个公式叫做线段12PP的定比分点公式，特别地1时，P为线段12PP的中点，此时121222xxxyyy，叫做线段12PP的中点公式.注：①12PPPP可得12PPPP；②当1时，定比分点的坐标公式121xxx和121yyy显然都无意义，也就是说，当1时，定比分点不存在奎屯王新敞新疆2）三角形重心坐标公式设ABC的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，G为ABC的重心，则12312333GGxxxxyyyy例8在直角坐标系内12(4,3),(2,6)PP，点P在直线12PP上，且122PPPP，求出P的坐标.解：当P在12PP上时，(0,3)P；当P在12PP延长线上，(8,15)P.例9已知(3,1),(4,2)AB，P是直线AB上一点，若23APAB，求点P的坐标.解:注意定比分点的定点，可得155(,)22P.*方法提炼*几个重要结论1.若,ab为不共线向量，则ab，ab为以,ab为邻边的平行四边形的对角线的向量；2.22222()ababab；3.G为ABC的重心0GAGBGC123123(,)33xxxyyyG112233[(,),(,)(,)]AxyBxyCxy【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3.在下列结论中,正确的结论为（D(1)a∥b且|a|=|b|是a=b(2)a∥b且|a|=|b|是a=b(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠bA.(1)(3)B.(2)(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)4.已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（D）A.点C分AB的比是-31B.点C分BA的比是-3C奎屯王新敞新疆点C分AC的比是-32D奎屯王新敞新疆点A分CB的比是25.已知两点1(1,6)P、2(3,0)P，点7(,)3Py分有向线段21PP所成的比为，则、y的值为（C）A奎屯王新敞新疆－41，８B.41C奎屯王新敞新疆－41，－８D奎屯王新敞新疆４，816.△ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（A）A奎屯王新敞新疆(2，-7)B奎屯王新敞新疆(-7，2)C奎屯王新敞新疆(-3，-5)D奎屯王新敞新疆(-5，-3)7.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.答案：必要非充分8.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定.答案：不共线9.已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=奎屯王新敞新疆答案：2或2710.△ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为奎屯王新敞新疆答案：(8,-4)11.已知M为△ABC边AB上的一点，且18AMCABCSS，则M分AB所成的比为奎屯王新敞新疆答案：71【巩固提高】12.已知点(1,4)A、(5,2)B，线段AB上的三等分点依次为1P、2P，求1P、2P点的坐标以及,AB分21PP所成的比．解：P1(1,-2),P2(3,0),A、B分21pp所成的比λ1、λ2分别为-21,-213.过1(1,3)P、2(7,2)P的直线与一次函数5852xy的图象交于点P，求P分21PP所成的比值奎屯王新敞新疆解：12514.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标奎屯王新敞新疆解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15.设P是ABC所在平面内的一点，2BCBABP,则（B）(A).0PAPB(B).0PCPA(C).0PBPC(D).+0PAPBPC16.若平面向量,ab满足1,abab平行于x轴，(2,1)b，则(1,1)(3,1)a或.17．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点．若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→等于()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：选A.AC→＝2AQ→＝2(PQ→－PA→)＝(－6,4)，PC→＝PA→＋AC→＝(－2,7)，BC→＝3PC→＝(－6,21)．18.已知O为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OAmOBnOC若A,B,C三点共线，且2mn，求实数,mn的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6),P是直线AB上一点，且1||||3APAB，求点P的坐标.20.已知向量(cos,sin)m和(2sin,cos),(,2)n，且8||25mn，求cos()28的值。