空间中的平行关系

1.2.2空间中的平行关系一.平行直线1.平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.3.基本性质4：平行于同一直线的两条直线互相平行此性质又叫做空间平行线的传递性符号记作：cacbba////,//4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，求证：∠BAC=∠B1A1C1.证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形。分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1.因为，所以AA1D1D是平行四边形，11//ADAD所以11//AADD同理可得11//AAEE所以DD1E1E是平行四边形。在△ADE和△A1D1E1中.AD=A1D1，AE=A1E1，DE=D1E1，于是△ADE≌△A1D1E1，所以∠BAC=∠B1A1C1.思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，两个角什么关系？思考：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组对边方向相同，另一组对边方向相反，两个角什么关系？5.空间四边形的有关概念：（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。（5）空间四边形的表示：空间四边形ABCD如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.空间两条直线的位置关系有三种：位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不在任何一平面内没有类型一基本性质4的应用【例1】如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．证明：(1)如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD，EH＝12BD，同理FG∥BD，FG＝12BD，∴EH綊FG，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形．∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD，又HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.又AC⊥BD，∴EH⊥HG，又EFGH为平行四边形，∴EFGH为矩形.点评空间中证明两直线平行的方法有：1.借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质，平行四边形的性质，用成比例线段证平行等．2.利用基本性质4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.变式训练1已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．证明：如图，连结AC，∵M、N分别为CD、AD的中点，∴MN=12AC.由正方体的性质可知AC=A′C′，∴MN=12A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形.类型二等角定理的应用【例2】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1.思维启迪：解答本题可先证明角的两边分别平行，即A1E∥CE1，A1F∥CF1.然后根据等角定理，得出结论．即：取A1B1中点M→证A1FBM为平行四边形→A1F∥BM→证F1MBC为平行四边形→BM∥F1C→A1F∥F1C取A1D1中点N→证A1NDE为平行四边形→A1E∥DN→证CDNE1为平行四边形→DN∥CE1→A1E∥CE1证明：如图所示，在正方体AC1中，取A1B1的中点M，连结BM、MF1，则BF＝A1M＝12AB.又BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连结DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形，∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，∴∠EA1F＝∠E1CF1.点评证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明.变式训练2如图所示，不共面的三条直线a，b，c交于点O，在点O的同侧分别取点A和A1，B和B1，C和C1，使得OAOA1＝OBOB1，OCOC1＝OAOA1.求证：△ABC∽△A1B1C1.解析：∵OAOA1＝OBOB1，OAOA1＝OCOC1，∴OA1OA＝OB1OB＝OC1OC.在平面OAB和平面OAC中，有A1B1∥AB，A1C1∥AC.又A1B1和AB，A1C1和AC的方向相同．∴∠BAC＝∠B1A1C1.同理∠ABC＝∠A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.1．空间两条互相平行的直线指的是()A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D．在同一平面内且没有公共点的两条直线答案：D2.设AA1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C3．空间中有两个角α，β，它们的两边互相平行，且α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°答案：D4．如图所示，在一个长方体木块的A1C1面上有一点P，过P点作一条直线和棱CD平行，应________．答案：过点P作C1D1的平行线5．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是________．解析：取SA中点M，则EM∥AC，MF∥SB，且EM＝1，MF＝1，又∵SB⊥AC，∴EM⊥MF，∴EF＝EM2＋MF2＝2.答案：2