带电粒子在电场力作用下的四种典型运动

带电粒子在电场中的运动问题是电场部分的重点和难点，是每年高考的热点问题，该类问题考查学生综合应用电场知识和力学知识的能力。从运动形式上可以分为圆周运动、直线运动、类平抛运动、周期性的往复运动等多种情况。带电粒子在电场力作用下的四种典型运动在电场力作用下的圆周运动•带电粒子在电场力作用下的圆周运动常见以下三种情况：•(1)在点电荷＋Q(或－Q)的电场中，另一个负电荷－q(或正电荷＋q)围绕点电荷做匀速圆周运动，如图甲所示。•(2)在两个等量同种正电荷Q(或负电荷－Q)的电场中，在过它们连线的中垂面内，一个负电荷－q(或正电荷＋q)围绕二者连线的中点做匀速圆周运动，如图乙所示。•一、在电场力作用下的圆周运动•(3)两个异种电荷Q1、－Q2，以相同的角速度ω绕其连线上某一点O做匀速圆周运动，如图丙所示。(类似于天体运动的双星模型)•解决该类问题时，首先分析使物体做圆周运动的向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解。[例1](2018·哈尔滨六中模拟)如图所示，a、b为两个固定的带正电荷量为q的点电荷，相距为L，通过其连线中点O作此线段的垂直平分面，在此平面上有一个以O为圆心，半径为32L的圆周，其上有一个质量为m，带电荷量为－q的点电荷c做匀速圆周运动，则c的速率为()A．q3kmLB．q3k2mLC．qkmLD．q2k3mL[解析]负点电荷c受到的静电力充当向心力，连接abc三点，cO为ab的垂直平分线，ac＝L，所以∠acO＝30°，故三角形abc为等边三角形，故根据矢量合成法则，可得a、b对c的静电力为F＝2kq2L2cos30°＝3kq2L2，根据F＝mv2R，联立解得v＝q3k2mL。[答案]B[跟进训练]1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动()A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小解析：根据库仑力提供向心力，由kQqr2＝ma＝m2πT2r＝mω2r＝mv2r，知r越大，a越小，ω也越小；r越小，v越大，而T越小，则只有C项正确。答案：C2.如图所示，一倾角为30°的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离d处有一带负电的电荷量为q、质量为m的小物体与圆盘始终保持相对静止。整个装置放在竖直向上的匀强电场中，电场强度E＝mg2q，则物体与盘面间的动摩擦因数至少为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g为重力加速度)()A.33g＋4ω2d9gB.23＋1ω2d3gC.3g＋4ω2d3gD.3g＋2ω2d3g解析：对物体跟着圆盘转动的各个位置分析比较可知，当物体转到圆盘的最低点时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大，即将相对滑动，由牛顿第二定律得：μ(mg＋qE)cos30°－(mg＋qE)sin30°＝mω2d，解得μ＝33g＋4ω2d9g。答案：A在电场力作用下的直线运动•在匀强电场中，如果带电粒子的速度v与场强E方向平行时，这时带电粒子在电场中做直线运动，如果电场力方向与速度方向相同，则粒子做匀加速直线运动，如果电场力方向与速度方向相反，则粒子做匀减速直线运动。•匀强电场，既可用牛顿第二定律和运动学公式求解，又可用动能定理求解。若为非匀强电场，带电粒子受到的电场力是变力，加速度是变量，只能用能量观点(如动能定理、能量守恒定律等)求解。[例2](2016·四川高考)中国科学院2015年10月宣布中国将在2020年开始建造世界上最大的粒子加速器。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106m/s，进入漂移管E时速度为1×107m/s，电源频率为1×107Hz，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的12。质子的荷质比取1×108C/kg。[解析](1)设质子进入漂移管B的速度为vB，电源频率、周期分别为f、T，漂移管B的长度为L，则T＝1fL＝vB·T2联立以上两式并代入数据得L＝0.4m。求：(1)漂移管B的长度；(2)相邻漂移管间的加速电压。(2)设质子进入漂移管E的速度为vE，相邻漂移管间的加速电压为U，电场力对质子所做的功为W，质子从漂移管B运动到漂移管E电场力做功为W′，质子的电荷量为q、质量为m，则W＝qUW′＝3WW′＝12mvE2－12mvB2联立以上各式并代入数据得U＝6×104V。[答案](1)0.4m(2)6×104V[跟进训练]3.如图所示，从F处释放一个无初速度的电子向B板方向运动，下列对电子运动的描述中错误的是(设电源电动势为U)()A．电子到达B板时的动能是UeB．电子从B板到达C板动能变化量为零C．电子到达D板时动能是3UeD．电子在A板和D板之间做往复运动解析：电子在AB之间做匀加速运动，且eU＝ΔEk，A正确；在BC之间做匀速运动，B正确；在CD之间做匀减速运动，到达D板时，速度减为零，后反向运动，C错误，D正确。答案：C在电场力作用下的类平抛运动题型简述带电粒子垂直射入匀强电场中，由于只受电场力作用，粒子做类平抛运动。方法突破求解这类问题时应把握以下关键：(1)处理方法：用运动的合成和分解的思想处理，即沿v0方向的匀速直线运动和垂直于v0方向的初速度为零的匀加速直线运动。(2)偏转规律：偏转位移y＝qU2mdlv02，偏转角tanφ＝vyv0＝qUlmdv02。(3)两个推论推论1：类平抛运动物体任意时刻速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍。推论2：类平抛运动物体任意时刻速度的反向延长线必过匀速运动位移的中点。[例3](2018·临沂质检)如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1＝E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2＝2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子(电荷量为e，质量为m)无初速度地放入电场E1中的A点，A与虚线MN的间距为L2，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，求：(1)电子从释放到打到屏上所用的时间；(2)电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tanθ；(3)电子打到屏上的点P′到点O的距离x。[解析](1)电子在电场E1中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a1，时间为t1，由牛顿第二定律和运动学公式得：a1＝eE1m＝eEmL2＝12a1t12，v1＝a1t1，t2＝2Lv1运动的总时间为t＝t1＋t2＝3mLeE。(2)设电子射出电场E2时沿平行电场线方向的速度为vy，根据牛顿第二定律得，电子在电场中的加速度为a2＝eE2m＝2eEm，t3＝Lv1，vy＝a2t3，tanθ＝vyv1，解得：tanθ＝2。(3)如图，设电子在电场中的偏转距离为x1x1＝12a2t32tanθ＝x2L解得：x＝x1＋x2＝3L。[答案](1)3mLeE(2)2(3)3L[跟进训练]4.(2018·广东六校联考)如图所示，两块相同的金属板正对着水平放置，板间距离为d。当两板间加电压U时，一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，以水平速度v0从A点射入电场，经过一段时间后从B点射出电场，A、B间的水平距离为L，不计重力影响。求：(1)带电粒子从A点运动到B点经历的时间；(2)带电粒子经过B点时速度的大小；(3)A、B间的电势差。解析：(1)带电粒子在水平方向做匀速直线运动，从A点到B点经历时间t＝Lv0。(2)带电粒子在竖直方向做匀加速直线运动，板间场强大小E＝Ud加速度大小a＝qEm＝qUmd经过B点时粒子沿竖直方向的速度大小vy＝at＝qUmd·Lv0带电粒子在B点速度的大小v＝v02＋q2U2L2m2d2v02。(3)粒子从A点运动到B点过程中，据动能定理得：qUAB＝12mv2－12mv02A、B间的电势差UAB＝12mv2－12mv02q＝qU2L22md2v02。答案：(1)Lv0(2)v02＋q2U2L2m2d2v02(3)qU2L22md2v02在周期性变化电场中的运动题型简述带电粒子在周期性变化的电场中运动时，由于电场的变化使粒子所受电场力变化，其加速度、速度、位移等都会发生相应的变化，从而出现加速、减速或者周期性运动状态。方法突破带电粒子在周期性变化电场中运动的分析方法：(1)明确电场(E、U等)变化的规律。(2)做好两个分析(受力分析和运动分析)，抓住粒子的运动具有周期性、空间上有的具有对称性的特征，求解粒子运动过程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。(3)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学公式分析；二是功能关系。(4)此类题型一般有三种情况：①粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)。②粒子做往返运动(一般分段研究)。③粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。[例4]一电荷量为q(q＞0)、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下，在t＝0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示。不计重力。求在t＝0到t＝T的时间间隔内，(1)粒子位移的大小和方向；(2)粒子沿初始电场反方向运动的时间。[解析](1)带电粒子在0～T4、T4～T2、T2～3T4、3T4～T时间间隔内做匀变速运动，设加速度分别为a1、a2、a3、a4，由牛顿第二定律得a1＝qE0m，a2＝－2×qE0m，a3＝2×qE0m，a4＝－qE0m。由此得带电粒子在0～T时间间隔内运动的加速度—时间图像如图甲所示，对应的速度—时间图像如图乙所示，其中v1＝a1×T4＝qE0T4m由图乙可知，带电粒子在t＝0到t＝T的时间间隔内位移大小为s＝T4v1解得s＝qE016mT2，方向沿初始电场正方向。[答案](1)qE0T216m沿初始电场正方向(2)T4(2)由图乙可知，粒子在t＝38T到t＝58T内沿初始电场的反方向运动，总的运动时间t为t＝58T－38T＝T4。[跟进训练]6．将如图所示交变电压加在平行板电容器A、B两极板上，开始B板电势比A板电势高，这时有一个原来静止的电子正处在两板的中间，仅在电场力作用下开始运动，设A、B两极板的距离足够大，下列说法正确的是()A．电子一直向着A板运动B．电子一直向着B板运动C．电子先向A板运动，然后返回向B板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动D．电子先向B板运动，然后返回向A板运动，之后在A、B两板间做周期性往复运动解析：根据交变电压的变化规律，可确定电子所受电场力的变化规律，从而作出电子的加速度a、速度v随时间变化的图线，如图所示，从图中可知，电子在第一个T4内做匀加速运动，第二个T4内做匀减速运动，在这半个周期内，因初始B板电势高于A板电势，所以电子向B板运动，加速度大小为eUmd。在第三个T4内做匀加速运动，第四个T4内做匀减速运动，但在这半个周期内运动方向与前半个周期相反，向A板运动，加速度大小为eUmd，所以，电子做往复运动，综上分析正确选项为D。答案：D