计算方法习题集及标准答案

练习一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2.试导出计算积分10(1,2,3,4)14nnxIdxnx的递推计算公式111()4nnIIn，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。解：111111110000141()14414414nnnnnnnxxxxxIdxdxxdxdxxxx111()4nnIIn10011ln50.402144Idxx1021324311(1)0.150,(1)0.2134411(1)0.197,(1)0.20144IIIIIIII此算法是数值稳定的。3.试证明nTninixxxxxxR),,(,max211及.)(,max11nnijnjijniaAaAR证明：（1）令1maxriinxx1/1/1/1/111lim()lim[()]lim[()]limnnnpirppppppirrrrppppiiirrxxxxxxxnxxx即rxx又1/1/11lim()lim()nnppppirrppiixxx即rxxrxx⑵设1(,...)0nxxx，不妨设0A，班级学号姓名0114)1(...)(41eIIIIennnnnnn令11maxnijinja1111111maxmaxmaxmaxnnnijjijjiijininininjjjAxaxaxxax即对任意非零nxR，有Axx下面证明存在向量00x，使得00Axx，设01nijja，取向量01(,...)Tnxxx。其中0()(1,2,...,)jijxsignajn。显然01x且0Ax任意分量为0011nnijjijiiaxa，故有0011maxnnijjijiijAxaxa即证。4.已知6134A，1A___________，2A_______________。5.已知矩阵321230103A，试计算A的谱半径()A。解：2321()det()230(3)(64)0103AfIAmax35()35.A6.已知210121012A，试计算1||||A，||||A，||||FA，2||||A311311||||max||5ijjiAa解：（）3131||||max||5ijijAa1332211||||(||)4FijijAa2||||()3TAAA7.11471236,0,_________;________.0811AXAAX则8.古代数学家祖冲之曾以113355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？解：13250.31415929210133x6173550.266100.510113xx该近似值具有7为有效数字。9.若T(h)逼近其精确值T的截断误差为12)(:)(iiihAThTTR其中，系数iA与h无关。试证明由,2,1,14)()2(4)()()(110mhThThTmhThTmmmm所定义的T的逼近序列)}({hTm的误差为122)()(immimhAThT，其中诸)(miA是与h无关的常数。证明：当m=0时20i1ThT=iih左边（）-右边设m=k时等式成立，即()22ki1ThT=kkiih（）-当m=k+1时1()22()221111114[()][()]4()()22ThT==4141kkkikkikiikkiikkkhhTThTThTT（）-()2(1)21()kkiiih即证。练习二1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：班级学号姓名（1）4sincosxxx;(2)xx24。解：（1）迭代公式1cossincossin,()44kkkxxxxxx，'()1x公式收敛k0123kx00.250.250980.25098*0.25098x（2）ln(4)()ln2xx，01.5x，'0()1x局部收敛1ln(4)ln2kkxxk012345678910kx1.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.3861.386*1.386x2.方程0123xx在5.1x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：（1）211xx,对应迭代公式2111kkxx;（2）231xx，对应迭代公式3211kkxx;（3）112xx,对应迭代公式111kkxx。判断以上三种迭代公式在5.10x的收敛性，选一种收敛公式求出5.10x附近的根到4位有效数字。解：（1）21()1xx'32()xx'0()1x局部收敛（2）2()1xx2'232()(1)3xxx'0()1x局部收敛（3）1()1xx2'31()(1)2xx'0()1x不是局部收敛迭代公式（1）：0123456781.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.466479101112131415161.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595*1.466x迭代公式（2）：k0123456kx1.51.4811.4731.4691.4671.4661.466*1.466x3.已知)(xx在[a,b]内有一根*x，)(x在[a,b]上一阶可微，且13)(],,[xbax，试构造一个局部收敛于*x的迭代公式。解：方程()xx等价于0.5[()3]xxx构造迭代公式10.5[()3]kkkxxx令()0.5[()3]xxx由于()x在[a,b]上也一阶可微'[0.5(()3)]0.5()30.51xxx故上述迭代公式是有局部收敛性.4.设)(x在方程)(xx根*x的邻近有连续的一阶导数，且1)(*x，证明迭代公式)(1kkxx具有局部收敛性。证明：()x在*x邻近有连续一阶导数，则'()x在*x附近连续，令'*()1xL则取1L则*0xx当时有''*()()xx从而'''*'*()()()()(1)1xxxxLL**'**()()()()()xxxxxxxx故**xx(x)令*ax，*bx由定理2.1知，迭代公式1()kkxx是有局部收敛性。5.)5()(2xxx，要使迭代法)(1kkxx局部收敛到5*x，则的取值范围是______________。6.用牛顿法求方程0742)(23xxxxf在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。解：32()247fxxxx'2()344fxxxy次迭代公式3212247344kkkkkkkxxxxxxxk0123kx3.53.643.633.63*3.63x7.试证用牛顿法求方程0)3()2(2xx在[1,3]内的根2*x是线性收敛的。解：令2()(2)(3)fxxx'2()328(2)(34)fxxxxxy次迭代公式1(2)(3)34kkkkkxxxxx故*11(2)(3)(2)(21)23434kkkkkkkkkxxxxexxxxx*2kkkexxx从而12134kkkkexex，k时，2kx故k，112kkee故牛顿迭代公式是线性收敛的8.应用牛顿法于方程03ax,导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。解：3()fxxa'2()3fxx相应的牛顿迭代公式为33122233kkkkkxaxaxxxx迭代函数322()3kkxaxx，3'322()3xaxx，''4()2xax则'3()0a，''3()0a练习三1.设有方程组3103220241225321321321xxxxxxxxx(1)考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当4)()1(10kkxx时迭代终止。解：（1）5211442310AA是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。（2）2112123555xxx11213425xxx31313510310xxx雅克比法：3(1)()()321255125kkkxxx，3(1)()()1121425kkkxxx，2(1)()()3131510310kkkxxx，取初始向量(0)(0)(0)1230xxx，迭代18次有18174i10ixx（i=1,2,3）13.999996x，22.999974x，32.000000x高斯-塞德尔法：3(1)()()321255125kkkxxx，3(1)()()1121425kkkxxx，2(1)()()3131510310kkkxxx取初始向量(0)(0)(0)1230xxx，迭代8次有874i10ixx（i=1,2,3）14.000033x，22.999983x，32.000002x2.设有方程组22221211212111bxaxabxaxa,)0,(1211aa,迭代公式：)(1)(1)1(221222)(2)1(212111)(1kkkkxabaxxabax,,2,1k.求证由上述迭代公式产生的向量序列)(kx收敛的充要条件是122112112aaaa.班级学号姓名证明：迭代公式(1)()kkxBxf中的矩阵1211212200aaBaa，212211122det()aaEBaa，由迭代收敛的充要条件知12211122()11aaBaa即证。3.给定方程组1011010201321xxxaa，确定a的取值范围，使方程组对应的Jacobi迭代收敛。4.用SOR方法解下列方程组（取松驰因子2.1）,要求4)()1(10kkxx.54122121xxxx.解：SOR方法12(1)()()()111111211()kkkkxxbaxaxa12(1)()(1)()222212222()kkkkxxbaxaxa11122122122,1,1,4,1,5,1.2aaaabb故2(1)()()110.20.60.6kkkxxx，1(1)()(1)220.20.31.5kkkxxx迭代初值(0)(0)120xxk()1kx()2kx00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0