2019年多目标决策.ppt

第13章多目标决策第13章多目标决策13.1基本概念13.2决策方法13.3多目标风险决策分析模型13.4有限个方案多目标决策问题的分析方法13.5层次分析法（AHP）思考与练习第13章多目标决策13.1例13.1房屋设计。某单位计划建造一栋家属楼,在已经确定地址及总建筑面积的前提下,作出了三个设计方案,现要求根据以下5个目标(1）低造价（每平方米造价不低于500元,不高于700元）(2）抗震性能（抗震能力不低于里氏5级,不高于7级）；(3）建造时间（越快越好）(4）结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等设计合理）(5）造型美观（评价越高越好）。这三个方案的具体评价如表13.1所示。第13章多目标决策表13.1第13章多目标决策1．例13.1就是一个多目标决策问题。类似的例子可以举出很多。多目标决策问题除了目标不止一个这一明显的特点外,最显著的有以下两个特点：目标间的不可公度性和目标间的矛盾性。,是指各个目标没有统一的度量标准,因而难以直接进行比较。例如房屋设计问题中,造价的单位是元/平方米,建造时间的单位是年,而结构、造型等则为定性指标。所谓目标间的矛盾性,是指如果选择一种方案以改进某一目标的值,可能会使另一目标的值变坏。如房屋设计中造型、抗震性能的提高,可能会使房屋建造成本提高。第13章多目标决策2．一个多目标决策问题一般包括目标体系、备选方案和决策准则三个基本因素。目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构。备选方案是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案。有的被选方案是明确的、有限的,而有的备选方案不是明确的,还有待于在决策过程中根据一系列约束条件解出。决策准则是指用于选择方案的标准。通常有两类：一类是最优准则,可以把所有方案依某个准则排序；另一类是满意准则,它牺牲了最优性,使问题简化,把所有方案分为几个有序的子集,如“可接受”与“不可接受”,“好的”、“可接受的”、“不可接受的”与“坏的”。第13章多目标决策3．1）于其它目标,则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。非劣解：既不能立即舍去,又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。非劣解在多目标决策中起非常重要的作用。第13章多目标决策图13.1劣解与非劣解ABCDEFGHIOf1(第一目标值)f2(第二目标值)第13章多目标决策单目标决策问题中的任意两个方案都可比较优劣,但在多目标时任何两个解不一定都可以比较。如图13.1所示,希望f1和f2两个目标越大越好,则方案A和B、D和E相比就无法简单定出其优劣。但是方案E和方案I比较,E比I劣。I和H来说,没有其它方案比它们更好。而其它的解,有的两对之间无法比较,但总能找到令一个解比它们优。I、H这一类解就叫非劣解,而A、B、C、D、E、F、G叫作劣解。如果能够判别某一解是劣解,则可淘汰之。如果是非劣解,因为没有别的解比它优,就无法简单淘汰。倘若非劣解只有一个,当然就选它。问题是在一般情况下非劣解远不止一个,这就有待于决策者选择。第13章多目标决策对于m个目标,一般用m个目标函数f1(x),f2(x),…,fm(x)刻画,其中x表示方案,而x的约束就是备选方案范围。最优解：设最优解为x*,fi(x*)≥fi(x)i=1,2,…,n（13.1）2）在处理多目标决策时,先找最优解。若无最优解,就尽力在各待选方案中找出非劣解,然后在非劣解之间权衡,从中找出一个比较满意的方案。这个比较满意的方案就称为选好解。第13章多目标决策单目标决策主要是通过对各方案两两比较,即通过辨优的方法来求得最优方案。而多目标决策除了需要辨优以确定哪些方案是劣解或非劣解外,还需要通过权衡的方法来求得决策者认为比较满意的解。权衡的过程实际上就反映了决策者的主观价值和意图。第13章多目标决策13.213.2.11.主要目标优化兼顾其它目标的方法设有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x),x∈R均要求为最优,但在这m个目标中有一个是主要目标,例如为f1(x),并要求其为最大。在这种情况下,只要使其它目标值处于一定的数值范围内,f′i≤fi(x)≤f″ii=2,3,…,m第13章多目标决策就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：R′={x|f′i≤fi(x)≤f″i,i=2,3,…,m;x∈R}（13.2）例13.2设某厂生产A、B两种产品以供应市场的需要。生产两种产品所需的设备台时、原料等消耗定额及其质量和单位产品利润等如表13.2所示。在制定生产计划时,工厂决策者考虑了如下三个目标：①计划期内生产产品所获得的利润为最大；②为满足市场对不同产品的需要,产品A的产量必须为产品B的产量的1.5倍；③为充分利用设备台时,设备台时的使用时间不得少于11个单位。)(max1xfRx第13章多目标决策表13.2第13章多目标决策显然,上述决策问题是一个多目标决策问题,今若将利润最大作为主要目标,则后面两个目标只要符合要求即可。这样,上述问题就可变换成单目标决策问题,并可用线性规划进行求解。设x1为产品A的产量,x2为产品B的产量,则将利润最大作为主要目标,其它两个目标可作为约束条件,其数学模型如下：maxz=4x1+3.2x22x1+4x2≤12(设备台时约束)3x1+3x2≤12(原料约束)x1-1.5x2=0(目标约束)2x1+4x2≥11(目标约束)x1,x2≥0（13.3）s.t.第13章多目标决策2.线性加权和法设有一多目标决策问题,共有f1(x),f2(x),…,fm(x)等m个目标,则可以对目标fi(x)分别给以权重系数λi（i=1,2,…,m）,然（13.4）计算所有方案的F(x)值,从中找出最大值的方案,即为最优方案。在多目标决策问题中,或由于各个目标的量纲不同,或因有些目标值要求最大而有些要求最小,则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值,然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较,以决定方案的取舍。)()(max1xfxFimii第13章多目标决策3.平方和加权法设有m个目标的决策问题,现要求各方案的目标值f1(x),f2(x),…,fm(x)与规定的m个满意值f*1,f*2,…,f*m的差距尽可能地小,（13.5）并要求minF(x),其中λi是第i(i=1,2,…,m)个目标的2*1))(()(iimifxfxFi第13章多目标决策4.乘除法当有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x)时,其中目标f1(x),f2(x),…,fk(x)的值要求越小越好,目标fk+1(x),…,fm(x)的值要求越大越好,并假定fk+1(x),…,fm(x)都大于0。于是可并要求minF(x)。*21*21...)()(...)()()(mkkifxfxffxfxfxF（13.6）第13章多目标决策5.设有m个目标f1(x),f2(x),…,fm(x),其中k1个目标要求最大,k2个目标要求最小。赋予这些目标f1(x),f2(x),…,fm(x),以一定的功效系数di(i=1,2,…,m),0≤di≤1。当第i个目标达到最满意时,di=1；最不满意时,di=0;其它情形,di则为0、1之间的某个值。描述di与fi(x)关系的函数叫作功效函数,用di=F(fi)表示。不同性质或不同要求的目标可以选择不同类型的功效函数,如线性功效函数、指数型功效函数等。图13.2所示为线性功效函数的两种类型。图13.2(a)所示为要求目标值越大越好的一种类型,即fi值越大,di也越大。图13.2（b）为要求目标值越小越好的一种类型,即fi越小,di越大。第13章多目标决策图13.2(a)目标值愈大愈好的类型；(b)Ofifimaxfiminf1.0dfimaxfOfifimin1.0d(a)(b)第13章多目标决策记maxfi(x)=fimax,minfi(x)=fimin,若要求fi(x)越大越好,则可设di(fimin)=0,di(fimax)=1,第i个目标的功效系数di的值（13.7）若要求fi(x)越小越好,则可设di(fimin)=1,di(fimax)=0,第i个目标的功效系数diminmaxmin)())((iiiiiifffxfxfdminmaxmin)(1))((iiiiiifffxfxfd（13.8）第13章多目标决策同理,对于指数型功效函数的两种类型,亦可类似地确定di的取值。当求出n个目标的功效系数后,即可设计一个总的功效系数,（13.9）作为总的目标函数,并使得D最大。从上述计算D的公式可知,D的数值介于0、1之间。当D=1时,方案为最满意,D=0时,方案为最差。另外,当某方案第i目标的功效系数di=0时,就会导致D=0,这样人们也就不会选择该方案了。mdddD321...第13章多目标决策13.2.2例13.3设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同,事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用fij表示第i个方案的第j个目标的目标值，则可列表如表13.3所示。第13章多目标决策表13.3n个方案的m个目标值第13章多目标决策（1）无量纲化。为了便于重排次序,可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij。变换的方法是：对目标fj,如要求越大越好,则先从n个待选方案中找出第j个目标的最大值确定为最好值,而其最小值为最差值。fibj→yibj=100fiwj→yiwj=1而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性jwijjiijiffbffmin,max第13章多目标决策对于目标fi,如要求越小越好,则可先从n个方案中的第j个目标中找出最小值为最好值,而其最大值为最差值。可规定fibj→yibj=1,fiwj→yiwj=100。其它方案的无量纲值可类似求得。这样就能把所有的fij变换成无量纲的yij。(2)通过对n个方案的两两比较,即可从中找出一组“非劣解”,记作{B},然后对该组非劣解作进一步比较。(3)通过对非劣解{B}的分析比较,从中找出一个“选好解”,i∈{B}（13.10）若Fi值为最大,则方案i为最优方案。ijmjiiyF1第13章多目标决策13.2.3分层序列法是把目标按照重要程度重新排序,将重要的目标排在前面,例如已知排成f1(x),f2(x),…,fm(x)。然后对第1个目标求最优,找出所有最优解集合,用R1表示,接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解,并将这时的最优解集合用R2表示,依此类推,直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述,第13章多目标决策}),(min{)(max)()(max)()(max)(11')(2)2(21)1(1000iimRxmmRxRxRxxfxRxfxfxfxfxfxfi=1,2,…,m-1;R0=R(13.11)第13章多目标决策这种方法有解的前提是R1,R2,…,Rm-1等集合非空,并且不止一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”,是指当求解后一目标最优时,不必要求前一目标也达到严格最优,而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题,第13章多目标决策}),(max,)({)(max)()(max)()(min)(1'1')(2)2(21)1(1'1'10iiiimRxmmRxRxRxxfaxfxRxfxfxfxfxfxfmi=1,2,…,m-1;R′0=R(13.12)第13章多目标决策13.3多目标风险决策分析模型可表述为：假设有n个目标,m个备选方案（A1,A2,…,Am）,第i个备选方案Ai面临li个自然状态,这li个自然状态发生的概率分别为pi1,pi2,…,pili；方案Ai在其第k个自然状态下的n个后果值分别为θ(1)ik,θ(2)ik,…,θ(n)ik。如图13.3所示。第13章多目标决策图13.3多目标风险型决策模型),,,()(