高等数学(下)复习题(2016、6有答案)

高数（下）复习题（2016.6）1、已知两点1(2,2,2)M，2(1,3,0)M，求向量12MM与x，y，z轴三个方向的方向余弦。（1cos2，1cos2，2cos2）2、设三角形两邻边为23aijk，bjk，求该三角形的面积。（6）3、在空间直角坐标系中，方程组224zxyz代表怎样的图形。（4z平面上以点（0，0，4）为圆心，2为半径的圆周）4、设两平面062zkyx与0642zyx相互垂直，求k的值。（k=10）5、求两直线11141xyz与123221xyz的夹角。（4）6、（1）设()yxzxe，求(1,0)dz；（2）设1(,,)zxfxyzy，求(1,1,1)df。解：（1）lnln()yzxxe，1[ln()]yxyxzxezxe，(1,0)2ln21xz；1()yxyyzxxee，所以(1,0)1yz，从而(1,0)d(2ln21)ddzxy。（2）1111zxxfzyy，(1,1,1)1xf；1121()zyxxfzyy，(1,1,1)1yf；121ln()zzxxfyyz，(1,1,1)0zf，(1,1,1)dddfxy。7、（1）已知方程22240xyzz，求zx，zy；（2）求由方程lnzxzy所确定的隐函数(,)zfxy的全微分dz。解：（1）两边对x求导，得2240xxxzzz，所以2xxzz，同理2yyzz。（2）设(,,)lnzFxyzxzy，则1xF，yzFy，ln1zzFy，所以11lnxxzFzzFy，1lnlnyyzzFzyzzzFyyyy，于是dz1d1lnxzydlnzyzyyy8、设2(,)xyzyfex，其中f具有二阶连续偏导数，求zx，2zxy。解：322121222[()]xxzyyyfefyeffxxx；22231122222111(2)[3()]xzeyfyfyfyfxyxxx2231212222332xxyyeyyeffffxxx9、求曲面3zexyz在点（1，2，0）处的切平面和法线方程。解：设(,,)3zFxyzexyz，则xFy，yFx，1zzFe，于是(1,2,0)2xF，(1,2,0)1yF，010zFe，所以切平面方程为2(1)1(2)0(0)0xyz即240xy；法线方程为12210xyz。10、求函数2uxyz在点P（1，-1，2）处沿什么方向的方向导数最大，并求方向导数的最大值。解：2xuyz，2yuxyz，2zuxy，所以()2xuP，()4yuP，()1zuP，在P点的梯度为grad()24fPijk，沿梯度方向的方向导数最大，最大值为21。11、求uxyz在条件1111(0,0,0,0)xyzaxyza下的极小值。解：设1111(,,,)()Lxyzxyzxyza，分别令0xL，0yL，0zL，得到xyz，再由1111xyza，可得3xyza，这是唯一驻点，由问题的性质可知，当3xyza时，u取得极小值，极小值为327a。12、欲造一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a元，侧面造价为每平方米b元，现用A元造一个容积最大的水池，求它的尺寸。（条件极值法计算）(练习册P42，Ex40)解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则问题为在条件2()xyaxzyzbA下求Vxyz的最大值。令(,,,)(22)LxyzxyzaxyxzbyzbA，由(2)0(2)02()02()0xyzLyzaybzLxzaxbzLxybxyaxybxzyzA，得323AxyaaAzba，这是唯一驻点，由问题的性质可知，即当长方体的长、宽为3Aa，高为23aAba时，长方体的体积最大。13、计算二重积分：ddxyDxexy，(,)01,01Dxyxy。解：1100ddddxyxyDxexyxxey10(e1)d2xxe。14、（1）交换二重积分的次序：100d(,)dyyfxyx；（2）计算10sinddxxyIxyy。答：（1）110d(,)dxxfxyy；（2）210sinddyyyIyxy10(sin-sin)d1cos1cos1sin11sin1yyyy15、计算二重积分22ddDxyxy，其中D为222xyy所围成的闭区域。解：2sin2200dddDxyxyd=30832sin39d。16、指出二重积分222ddDRxyxy的几何意义，其中222:,0DxyRR，并求出其值。答：以（0，0）为球心，R为半径的上半个球球体的体积，22232dd3DRxyxyR。16、计算由曲面226zxy及22zxy所围成的立体的体积。（二重积分、三重积分两法都要会）(练习册P48，Ex21)解：方法一（用二重积分计算）2222[6]ddDVxyxyxy，其中D为曲面226zxy及22zxy所围成的空间在xoy平面上的投影，容易求得22:4Dxy，用极坐标可表示为02:02D，所以22220032(6)ddd(6)d3DV。方法二（用三重积分计算）dVv，其中为曲面226zxy及22zxy所围成的空间，在xoy平面上的投影22:4Dxy，可表示为22222246xyxyzxy，用柱坐标表示为202026z，22260032ddd3Vz。18、计算三重积分dddzxyz，其中是由曲面222zxy及22zxy所围成的闭区域。解：用柱坐标计算，在xoy平面上的投影22:1Dxy，可表示为2202012z，于是dddzxyz22212007ddzd12z。[练习册P47，Ex17]19、求出当满足什么条件时，11211(1)nnn收敛，并指出何时绝对收敛，何时条件收敛。答：12，0，102。20、求幂级数1(5)(1)nnnxn的收敛半径和收敛域。[练习册P57，Ex6(4)]解：1limlim11nnnnanan，收敛半径11R。当51x，即6x时，级数为11(1)nnn，是交错级数，收敛；当51x，即4x时，级数为11nn，是112p的p级数，发散，所以原级数的收敛域为(4,6]。21、求幂级数210(21)nnnx的收敛区间与和函数。解：由21()()lim1()nnnuxxxux，得1x，所以收敛半径为1；当1x时，有21212122222200000(21)(22)()()11nnnnnnnnnnxxnxnxxxxxx232222()11(1)xxxxxxx。即210(21)nnnx322(1)xxx（1x）。22、将函数21()2fxxx展开成1x的幂级数。解：211111111111()()[][]1232131(1)2(1)31(1)212fxxxxxxxxx，所以21000111111()[(1)(1)(1)][(1)](1)232232nnnnnnnnnnfxxxxxx。其中1(1)11112xx，即2031xx，20x。即210111()[(1)](1)232nnnnfxxxx，20x。23、将函数()sincosfxxxx展开成x的幂级数。解：()sincossin22xfxxxxx，因为210(1)sin(21)!nnnxxn，x，所以2122222000(1)(1)(4)()sin2(2)222(21)!(21)!(21)!nnnnnnnnnnxxfxxxxxnnn，x。24、求微分方程23d(1)0dyyxx的通解。[练习册P59，Ex1（3）]解：原方程可转化为23(1)dd0yy+xx，两边积分得34111(1)34y+xC，即3414(1)312y+xCC，所以原方程的通解为344(1)3y+xC。25、求微分方程3d1d2yyyxxx满足11xy的特解。解：原方程为齐次方程，设yux，则原方程可转化为3d1d2uuxuux，即321dduxux，解之得21uxCe，即22xyxCe，由11xy得1Ce，所以原方程满足初始条件的特解为221xyxe。26、求微分方程()(1)xyxxy满足(1)1y的特解。解：原方程可转化为11(1)1yyxxx，这是一阶线性微分方程。由10(1)yyxx得1Cxyx；设()1uxxyx，代入原方程得()lnuxxC，即原方程的通解为ln1Cxxxyx，又由(1)1y得2C，所以微分方程()(1)xyxxy满足(1)1y的特解为2ln1xxxyx。27、求微分方程244xyyye的通解。解：2()xfxe，即2，()1mPx（0m）；由2440rr，得122rr，所以212()()xYxCCxe；2显然不是2440rr的根，所以可设*2()xyxAe，代入原方程比较系数得116A，即*21()16xyxe，所以原方程的通解为22121()()16xxyxCCxee。28、写出微分方程25sin2xyyyex的一个特解形式。[练习册P62，Ex10(5)]解：由250yyy得2250rr，即1,212ri，所以12()(cos2sin2)xYxCxCxe；又()sin2xfxex，即1，2，()0lPx，()1nPx，显然12ii是特征方程2250rr的根，可设*()(cos2sin2)xyxxeAxBx，代入原方程，比较系数得14A，0B，即*1()cos24xyxxex。29、已知1xye，xye是0ypyqy（p、q是常数）的两个特解。（1）求p、q。（2）求方程的通解，并求满足(0)1y，(0)2y的特解。解：（1）因为1xye，xye是方程的两个特解，所以1是其对应的特征议程的二个根，从而(11)0P，1(1)1q；（2）方程通解为12xxyCeCe，由(0)1y，(0)2y得121212CCCC，即121232CC，所以方程满足初始条件的特解为1322xxyee。30、设函数()x连续，且满足00()()d()dxxxxetttxtt，