知识讲解-直接证明与间接证明(基础)1213

第1页共13页直接证明与间接证明编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1.掌握用综合法证题的思路和特点。2.掌握用分析法证题的思路和叙述方式．3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．【要点梳理】知识点一：综合法证题1．定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2．综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．3．综合法的思维框图：用P表示已知条件，1iQi（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：11223...nPQQQQQQQ（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．4．综合法证明不等式时常用的不等式（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；（2）2abab（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；第2页共13页（4）2baab（a，b同号）；2baab（a，b异号）；（5）a，b∈R，2221()2abab，（6）不等式的性质定理1对称性：a＞bb＜a。定理2传递性：abacbc。定理3加法性质：abacbccR。推论abacbdcd。定理4乘法性质：0abacbcc。推论100abacbccd。推论20*nnababnN。定理5开方性质：0*nnababnN。知识点二、分析法证题1．定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.2．分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。3．分析法的思维框图：用123iPi（，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：11223...QPPPPP得到一个明显成立的条件第3页共13页（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）4．分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．5．综合法与分析法的横向联系（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P则Q”的推演过程可表示为：知识点三、反证法证题间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．1．反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2．反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”①分清命题的条件和结论．第4页共13页②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．3．反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：推理“若p则q”导致逻“若p则q”肯定条件p,辑矛盾为假命题否定结论q为真命题要点诠释：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.(2)反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.4．反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾（自相矛盾）；③与定义、定理、公理、事实矛盾．5．宜用反证法证明的题型：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释：反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考第5页共13页难度较大和探索型命题时，有独特的效果．【典型例题】类型一、利用综合法证明有关命题例1．求证：5321232log19log19log19【思路点拨】综合法常常变形不等式左边，然后利用公式和性质往右推。【解析】∵1loglogabba，∴左边∵，∴5321232log19log19log19.【总结升华】利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，本题待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，1loglogabba转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.举一反三：【变式1】设a、b是互不相等的正数，且1ab，试用综合法证明：114ab+．【答案】因为1ab，所以112224ababbabaabababab+.【变式2】已知0a，0b，试用综合法证明：2222()()4abcbcaabc.【答案】因为22 2bcbc，0a，所以22()2abcabc；又因为222cbbc，0b；所以22()2bcaabc.因此2222()()4abcbcaabc.例2.已知数列na满足15a,25a，116(2)nnnaaan．求证：12nnaa是等比数列；【思路点拨】根据等比数列的定义变形。【解析】由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)∵a1＝5，a2＝5∴a2＋2a1＝15第6页共13页故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列【总结升华】本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法。举一反三：【变式】已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1。（1）设bn=an+1－2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列。（2）设2nnnac（n=1，2，…），求证：数列{cn}是等差数列。【答案】（1）∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2―Sn+1=4an+1―4an（n=1，2，3，…）,即an+2=4an+1―4an，变形得an+2―2an+1=2(an+1―2an)。∵bn=an+1－2an（n=1，2，…），∴bn+1=2bn（n=1，2，…）。由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列。由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，得a2=5，b1=a2―2a1=3。故bn=3·2n―1。（2）∵2nnnac（n=1，2，…）∴11111122222nnnnnnnnnnnaaaabcc将bn=3·2n－1代入，得134nncc（n=1，2，…）。由此可知，数列{cn}是公差34d的等差数列，它的首项11122ac，故3144ncn。例3．如图，设在四面体PABC中，90ABC，PAPBPC，D是AC的中点.求证：PD垂直于ABC所在的平面.【思路点拨】要证PD垂直于ABC所在的平面，只需在ABC所在的平面内找到两条相交直线与PD垂直.【解析】连PD、BD因为BD是RtABC斜边上的中线，第7页共13页所以DADCDB又因为PAPBPC,而PD是PAD、PBD、PCD的公共边，所以PADPBDPCD于是PDAPDBPDC,而90PDAPDC，因此90PDB∴PDAC，PDBD由此可知PD垂直于ABC所在的平面.【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理。这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：（1）由已知BD是RtABC斜边上的中线，推出DADCDB，记为0P（已知）1P；（2）由DADCDB和已知条件，推出三个三角形全等，记为12PP；（3）由三个三角形全等，推出PDAPDBPDC90，记为23PP；（4）由90PDAPDBPDC推出PDABC面，记为34PP（结论）.