直线与直线方程经典例题

必修2第二章解析几何初步第一节：直线与直线方程（王建明）一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把__x轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角。（0°≤α180°）（2）斜率k=tan=1212xxyy（0°≤＜180°），当=90时，k不存在。（两种求法，注意21xx的情况）（3）函数y=tanx在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。例1：过点M（-2，m）,N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为。例2：过两点A（m2+2,m2-3）,B（3-m-m2,2m）的直线l的倾斜角为45°求m的值。例3：已知直线l经过点P（1,1），且与线段MN相交，又M（2，-3），N（-3，-2），求直线l的斜率k的取值范围。例4：已知a＞0,若平面内三点A（1，—a），B（2，a2）,C(3,a3)共线，则a值为。练习：1经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于12，则m的值是(B)A．4B．3C．1或3D．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点)1,cos(),sin,2(klBA2.已知直线l过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：－∞，－12∪[5，＋∞)3.已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)，若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．答案：－∞，－12∪[5，＋∞)二、两直线的平行与垂直1.平行的判定：2.垂直的判定：例（1）l1经过点M（-1，0）,N(-5,-2)，l2经过点R（-4,3），S（0,5），l1与l2是否平行？（2）l1经过点A（m，1）,B(-3,4),）l2经过点C（1，m）,D(-1,m+1),确定m的值，使l1//l2。练习：的值平行，求实数与直线已知直线aayxalayxl01)13(:012:.121的值平行，求实数与直线已知直线ayaxalayxal03)2()2(:013)2(:.221例（1）l1的倾斜角为45，l2经过点P（-2,-1），Q（3,-6）.例（2）已知点M（2,2）和N（5，-2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。练习：1.求a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？答案：a=-12.求过点P(1，－1)，且与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x－2y－5＝0.三、直线的方程1、点斜式:y-y0=k(x－x0)(斜率存在，可为0)1、斜截式：y=kx+b(b是与y轴的交点)(斜率存在，可为0)2、两点式:121yyyy=121xxxx(斜率存在，不能为0)3、一般式：Ax+By+C=0(任意直线)4、截距式：ax+by=1(斜率存在且不过原点且不为0)典型例题表示b＋kx＝y的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D1表表byx可以用方程．不经不经过原点的直C表示)y－)(yx－(x＝)x－)(xy－(y程的直线直线都可以)y，(xP、)y，(xP．经经过任意两个不同B表示)x－k(x＝y－y的直线直线都可以用)y，(xP．经经过定A)　　(四种种法中正确的1.下12112122211100000a面例例2.求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC的中点为D(3，23)．(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．例4.方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值．(1)方程能够表示一条直线；（答案：m1）(2)方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：m2）例5.直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．(1)求证：直线l必过定点；（答案：(15，35)）(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（答案：5x＋5y－4＝0）(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）练习：1.若直线7x＋2y－m＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m＝()A．14B．－14C．0D．14或－142、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。3、经过点A（-1,8），B（4，-2）的直线方程。4、已知A(1,2),B（3,1），求线段AB的垂直平分线方程。5、一条光线从点P（6,4）射出，与x轴相交于点Q（2，0）经x轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。四、直线的交点坐标与距离公式1、求两条直线的交点（联立方程组）例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky+k+21=0相交于一点，则k=（2）已知直线l1：x+y+2=0,l2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x+y-1=0平行的直线l的方程。2、两点间的距离公式︱P1P2︱=212212)()(yyxx例（1）已知点A（a,-5）与B（0,10）间的距离是17，求a的值。例（2）已知点A（-1,2），B（2，7），在x轴上求一点P，使︱PA︱=︱PB︱，并求的︱PA︱值。例.直线l的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．(1)求证：直线l必过定点；（答案：(15，35)）(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（答案：5x＋5y－4＝0）(3)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）五、点到直线的距离例1：求点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离d=。例2：已知点（a,2）到直线l:x-y+1=0的距离为2，则a=。(a＜0)例3:求直线y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线方程。练习：1.已知△ABC中，A(－2，1)，B(3，－3)，C(2，6)，试判断△ABC的形状2.求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线方程．3.已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋14.已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．六、两平行直线间的距离例1：求平行直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0的距离例2：已知直线l1：（t+2）x+(1-t)y=1与l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。例3：求点A（2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。练习：1.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．2.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行，且到l的距离为2的直线的方程．