第二章随机变量及其分布(一)引例:(1)抛掷一枚骰子,可能出现的点数有几种情况?(2)姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况?(3)抛掷一枚硬币,可能出现的结果有几种情况?思考:在上述试验开始之前,你能确定结果是哪一种情况吗?1,2,3,4,5,60分,1分,2分正面向上,反面向上能否把掷硬币的结果也用数字来表示呢?分析:不行,虽然我们能够事先知道随机试验可能出现的所有结果,但在一般情况下,试验的结果是随机出现的。在前面的例子中,我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示,这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。若把这些数字当做某个变量的取值,则这个变量就叫做随机变量,常用X、Y、x、h来表示。注意:有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但还是可以用数量来表达,如在掷硬币的试验中,我们可以定义“X=0,表示正面向上,X=1,表示反面向上”一、随机变量的概念:按照我们的定义,所谓的随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么,随机变量与函数有类似的地方吗?随机变量是试验结果与实数的一种对应关系,而函数是实数与实数的一种对应关系,它们都是一种映射在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值结果相当于函数的值域。所以我们也把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。例1、一个袋中装有5个白球和5个黑球,若从中任取3个,则其中所含白球的个数x就是一个随机变量,求x的取值范围,并说明x的不同取值所表示的事件。解:x的取值范围是{0,1,2,3},其中{x=0}表示的事件是“取出0个白球,3个黑球”;{x=1}表示的事件是“取出1个白球,2个黑球”;{x=2}表示的事件是“取出2个白球,1个黑球”;{x=3}表示的事件是“取出3个白球,0个黑球”;变题:{x3}在这里又表示什么事件呢?“取出的3个球中,白球不超过2个”写出下列各随机变量可能的取值,并说明它们各自所表示的随机试验的结果:(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,被取出的卡片的号数x;(2)抛掷两个骰子,所得点数之和Y;(3)某城市1天之中发生的火警次数X;(4)某品牌的电灯泡的寿命X;(5)某林场树木最高达30米,最低是0.5米,则此林场任意一棵树木的高度x.(x=1、2、3、···、10)(Y=2、3、···、12)(X=0、1、2、3、···)[0,+∞)[0.5,30]思考:前3个随机变量与最后两个有什么区别?二、随机变量的分类:1、如果可以按一定次序,把随机变量可能取的值一一列出,那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。(如掷骰子的结果,城市每天火警的次数等等)2、若随机变量可以取某个区间内的一切值,那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。(如灯泡的寿命,树木的高度等等)注意:(1)随机变量不止两种,我们只研究离散型随机变量;(2)变量离散与否与变量的选取有关;比如:对灯泡的寿命问题,可定义如下离散型随机变量0,10001,1000Y寿命小时寿命小时下列试验的结果能否用离散型随机变量表示?(1)已知在从汕头到广州的铁道线上,每隔50米有一个电线铁站,这些电线铁站的编号;(2)任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料,其实际量与规定量之差;(3)连续不断地投篮,第一次投中需要的投篮次数.(4)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中,某同学可能取得的等级。若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数,请把X取不同值的概率填入下表,并求判断下列事件发生的概率是多少?(1){X是偶数};(2){X3};X123456P解:P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)12P(X3)=P(X=1)+P(X=2)13616161616161三、离散型随机变量的分布列:一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为:x1,x2,…,xi,…,xnX取每一个xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表:Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=Pii=1,2,…,n来表示X的分布列离散型随机变量的分布列应注意问题:Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…1、分布列的构成:(1)列出了离散型随机变量X的所有取值;(2)求出了X的每一个取值的概率;2、分布列的性质:0,1,2,ipi(1)1211ninipppp(2)例2、在掷一枚图钉的随机试验中,令,针尖向下,针尖向上01X如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p),于是,随机变量X的分布列是X01P1-pp像上面这样的分布列称为两点分布列。如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。例3、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1121(1),(0),66331(1)62PXPXPX∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为:X10-1P111632求离散型随机变量分布列的基本步骤:(1)确定随机变量的所有可能的值xi(2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi(3)列出表格定值求概率列表课堂练习:P49习题1,2,3,41、随机变量x的所有等可能取值为1,2,3,n,…,若40.3Px,则()A.3nB.4nC.10nD.不能确定0.30.16P3210-1ξ10a2a5a2、若随机变量ξ的分布列如下表所示,则常数a=_____35C3、某一射手射击所得环数x分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______课堂练习:0.88思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的号码,求X的分布列。解:因为同时取出3个球,故X的取值只能是1,2,3当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任选故其概率为当X=2时,其他两球的编号在3,4,5中选,故其概率为当X=3时,只可能是3,4,5这种情况,概率为24353(1)5CPXC23353(2)10CPXC1(3)10PXX123P33151010∴随机变量X的分布列为思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的号码,求X的分布列。小结:一、随机变量的定义:二、随机变量的分类:三、随机变量的分布列:1、分布列的性质:0,1,2,ipi(1)1211ninipppp(2)2、求分布列的步骤:定值求概率列表作业:课本P49练习1,2;B组第1题家庭作业:世纪金榜P46基础自主演练