1.3.2 函数的极值与导数 课件

1.3.2函数的极值与导数2f(x)=3x+6解：x-24令f(x)=0，,=3(x+4)(x-2)321.求函数f(x)=x+3x-24x-20的单调区间.临点12得界x=-4,x=2.区间(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f’(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4),(2，＋∞)内单调递增，求导数—求临界点—列表—写出单调性++-f′(x)0(x+4)(x-2)0x-4或x2f(x)在(-4，2)内单调递减.f′(x)0(x+4)(x-2)0-4x2还记得高台跳水的例子吗？atho最高点h(t)=-4.9t2+6.5t+10单调递增h´(t)0单调递减h´(t)0h´(a)＝02.跳水运动员在最高处附近的情况：(1)当t=a时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？(2)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？(3)当ta时h(t)的单调性是怎样的呢？t=atataatho最高点导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，h(t)先增后减，h′(t)先正后负，h′(t)连续变化，于是有h′(a)=0,f(a)最大.那么下面图象的最高点h（a）代表什么意义呢？这就是本节课研究的重点——函数的极值＋－h(t)=-4.9t2+6.5t+101.探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值.（重点）2.利用导数信息判断函数极值的情况.（难点）如图3.3-10和图3.3-11,函数y=fx在a,b,c,d,e,f,g,h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=fx在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=fx的导数的符号有什么规律?aboxyxfy图3.3-10cdefoghxyxfy图3.3-11探究点函数的极值与导数.以a,b两点为例,我们可以发现,函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其他点的函数值都小,a=0;而且在点x=a附近的左侧x0,右侧x0fff类似地,函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近其他点的函数值都大,b=0;而且在点x=b附近的左侧x0,右侧x0.fff我们把点a叫做函数y=fx的极小值点,fa叫做函数y=fx的;极小值点b叫做函数y=fx的极大值点,fb叫做函数y=fx的;极大值极值点极小值点、极大值点统称为.极大值和极小值统称extremevalue.为极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.•思考•(1).函数y=f(x)的极大值或者极小值唯一吗？•(2).函数y=f(x)的极大值是函数的最大值吗？•(3).函数y=f(x)的极小值一定比极大值小吗？•能举例说明吗？1.极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2.函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。定义的理解3.极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。3例1求函数fx=x-4x+4的极值.3为3'21因fx=x-4x+4,所以3fx=x-4=解x-2x+2.'令fx=0,得x=2,或x=-2.两况讨论下面分种情:当时'1fx0,即x2,或x-2;当时'2fx0,即-2x2.当变时变况'x化,fx,fx的化情如下表:单调递单调递减单调递'x-∞,-2-2-2,222,+∞fx+0-0+284fx增-增33当时为因此,x=-2,fx有极大28值,并且极大值f-2=;3当时为x=2,fx有极小值,并且4极小值f2=-.3数图图31函fx=x-4x+4的象如3.3-12所示.3.极大值一定大于极小值注意:不导数值为0的点一定是函数的思考极值点吗?22oxy31443fxxx3.312图3233导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数fx=x,我们有x=3x.虽然f0=0,但由于无论x0,还是x0,恒有x0,即函数fx=x是单调递增的,所以x=0不是函数fx=x极值点.一般地,函数y=fx在一点的导数值为0是函数y=fx在这点取极值的必要条件,而非充分条件.ff'求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+～-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-～+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；总结提升一般地,求函数y=fx的极值的方法是:00（2）如果在x附近的左侧x0,右侧x0,那么fx是ff极小值.000解方程x=0.当x=0时:（1）如果在x附近的左侧x0,右侧x0,那么fx是ffff极大值;例２:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①)(xf又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或.33114baba当a=-3,b=3时,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.0)1(3)(2xxf当a=4,b=-11时,).1)(113(1183)(2xxxxxf从而所求的解为a=4,b=-11.x1时,;x1时,,此时x=1是极值点.0)(0)(xfxf311变式练习：已知函数f(x)=-x3+ax2+b，若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.解:由，得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.023)(2axxxf由于当x0时,当x0时,故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1..0)(,0)(xfxf1.下面说法正确的是.A.可导函数必有极值B.可导函数在极值点的导数一定等于零C.函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）D.函数的极小值（或极大值）不会多于一个B注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.2.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为()A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D函数在时有极值10，则a，b的值为（）A.或B.或C.D.以上都不对322()fxxaxbxa1x3,3ab4,11ab4,1ab4,11ab4,11abC3.解:由题设条件得：/(1)10(1)0ff2110320abaab解之得34311aabb或通过验证，a=3,b=3时，不合题意.注意：f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件.注意代入检验32004.已知函数f(x)=ax+bx+cx在点x处取得极大值5,其导函数y=f(x)的图(如图)过点（1,0）（,2,0）,求：（1） x的值；（2）a,b,c的值；象'2,9,12abc解得.2b33ac23a－或()()''f13a2bc0f212a4bc0＝01x解：(1)由图象可知：2(32(0)'fxaxbxca）＝　　()f1abc5(2)注意数形结合极值定义要把握：2个关键①可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0.②极值点左右两边的导数必须异号.3个步骤①确定定义域②求f′(x)=0的根③并列成表格用方程f′(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f′(x)在方程根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.