_函数与导数数列综合应用教案

函数与不等式数列综合应用（教案）例1：已知函数2(),0,()1(,0,),()(),0,fxxfxaxbxabaxRFxfxx为实数，（1）若(1)0f，且函数()fx的值域为0,，求()Fx的表达式（2）在（1）的条件下，当2,2x时，()()gxfxkx是单调函数，求实数k的取值范围（3）设mn0,m+n0,a0,且函数()fx为偶函数，判断()()FmFn是否大于0？例2：设定义在R上的函数()fx满足①,对任意的,,()()()xyRfxyfxfy：②当x0时，()fx1,，数列111(0),()(1)nnnaaffanNfa满足且（1）求证1()()fxfx，并判断函数()fx的单调性（2）令nb是最接近na的正整数，即1000121111()2nnnnbabNTnNTbbb其中求例3：设函数1()xfxxae（1）求函数()fx的单调区间（2）若()0fxxR对恒成立，求a的取值范围（3）对任意的n个正整数123123,,,nnaaaaaaaaAn记①求证：1aiiaeA②求证：123nnAaaaa例4：.（江苏19）已知a，b是实数，函数,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf和)(xg是)(),(xgxf的导函数，若0)()(xgxf在区间I上恒成立，则称)(xf和)(xg在区间I上单调性一致.（1）设0a，若函数)(xf和)(xg在区间),1[上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设,0a且ba，若函数)(xf和)(xg在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.答案：322(),(),()3,()2.fxxaxgxxbxfxxagxxb因为函数()fx和()gx在区间[1,)上单调性一致，所以，''[1,),()()0,xfxgx即[1,),x0,xa2（3+）(2x+b)20,30[1,),0,axax2x+b即[1,),,2;xbb2x实数b的取值范围是[2,)由()0,3afxx若0b,则由0a,0(,),(0)(0)0abfgab,()fx和()gx在区间(,)ab上不是单调性一致,所以0b.(,0),()0xgx;又(,),()0;(,0),()033aaxfxxfx.所以要使()()0fxgx,只有,33aaab,1110,0,||333abab取211,0,()()6()39abfxgxxx,当1(,0)3x时,''()()0,fxgx因此max1||3ab当ba时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（b,a）上单调性一致，所以，''(,),()()0,xbafxgx即(,),x0,xba2（3+a）(2x+b)0,(,),20baxbaxb，2(,),3,xbaax23,bab设zab，考虑点(b,a)的可行域，函数23yx的斜率为1的切线的切点设为00(,)xy则0001161,,,612xxymax111()1266z；当0ab时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（a,b）上单调性一致，所以，''(,),()()0,xabfxgx即(,),x0,xab2（3+a）(2x+b)0,(,),20bxabxb，2(,),3,xabax213,0,3aaamax1();3ba当0ab时，因为，函数)(xf和)(xg在区间（a,b）上单调性一致，所以，''(,),()()0,xabfxgx即(,),(x0,xab22x+b)（3+a）0,b而x=0时，x2（3+a）(2x+b)=ab0,不符合题意，当0ab时，由题意：(,0),x0,xa22x（3+a）2(,0),x0,30,xaaa23+a110,33aba综上可知，max13ab。例5：已知点111222(,),(,),(,)()nnnPabPabPabnN都在函数12xy的图像上，且数列11naa是，公差为d的等差数列（1）证明：数列nb是等比数列（2）若公差d=1，以点nP的横纵坐标为边长的矩形面积为nc，求最大的实数t，使得1nct,0tRt对一切的正整数n都成立（3）对（2）中的数列na，对每个正整数k，在1kkaa与之间插入13k个3，0121223,34(333aaaaaa如在与之间插入,3个，在与之间插入3个，与之间插入3个，，以此类推）得到一个新的数列,nnndSd设是数列的前n项和，试探究2008是否为数列nS中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明例6：已知数列1,22==cossin22nnnnnaa设满足a1，a3，且a=(1+2),nN（1）求21ka,nN（2）数列2211122212111,,,()nnnnnnnbbyby满足ya且当n2时，yyyy证明：12221(1)nnbbnnn当n2时，（3）在（2）的条件下，试比较12111111nbbb与4的大小关系一、选择题1.（福建理10）已知函数()xfxex，对于曲线()yfx上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B2.（广东文10）设)(),(),(xhxgxf是R上的任意实值函数．如下定义两个函数xgf和xgf；对任意Rx,)(xgfxgf；)(xgxfxgf．则下列等式恒成立的是（）A．)(xhghfxhgfB．)(xhghfxhgfC．)(xhghfxhgfD．)(xhghfxhgf【答案】B3.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：3002tMtM，其中0M为0t时铯137的含量，已知30t时，铯137的含量的变化率是2ln10（太贝克/年），则60MA.5太贝克B.2ln75太贝克C.2ln150太贝克D.150太贝克【答案】D【解析】因为300/22ln301tMtM，则2ln1022ln3013030300/MM，解得6000M，所以302600ttM，那么150416002600603060M（太贝克），所以选D.4.（湖南理8）设直线xt与函数2(),()lnfxxgxx的图像分别交于点,MN，则当||MN达到最小时t的值为（）A．1B．12C．52D．22【答案】D【解析】由题2||lnMNxx，(0)x不妨令2()lnhxxx，则1'()2hxxx，令'()0hx解得22x，因2(0,)2x时，'()0hx，当2(,)2x时，'()0hx，所以当22x时，||MN达到最小。即22t。5.（江西理7）观察下列各式：312555，1562556，7812557，…，则20115的末四位数字为A.3125B.5625C.0625D.8125【答案】D【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又)11004(252011，即20115为第1004个指数为奇数的项，应该与第二个指数为奇数的项（7812557）末四位相同，∴20115的末四位数字为81256.（辽宁理11）函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）【答案】B7.(全国Ⅰ理12)函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2(B)4(C)6(D)8【答案】D8（山东理10）已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x时,3()fxxx,则函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（A）6（B）7（C）8（D）9【答案】A【解析】因为当02x时,3()fxxx,又因为()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f,所以(6)(4)(2)(0)0ffff,又因为(1)0f,所以(3)0f,(5)0f,故函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为6个,选A.9.（天津理8）设函数212log,0log,0xxfxxx若fafa，则实数a的取值范围是（）．Ａ．1001,,UＢ．11,,UＣ．101,,UＤ．101,,U【答案】C【解析】若0a，则212loglogaa，即22log0a，所以1a，若0a则122loglogaa，即22log0a，所以01a，10a。所以实数a的取值范围是1a或10a，即101a,,U．故选C．10.（天津文10）设函数22gxxxR，4,,,,gxxxgxfxgxxxgx则fx的值域是（）．Ａ．9,01,4UＢ．0,，Ｃ．9,4Ｄ．9,02,4U【答案】D【解析】解22xgxx得220xx，则1x或2x．因此22xgxx的解为：12x．于是222,12,2,12,xxxxfxxxx或当1x或2x时，2fx．当12x时，2219224xxx，则94fx，又当1x和2x时，220xx，所以904fx．由以上，可得2fx或904fx，因此fx的值域是9,02,4U．故选Ｄ．11.（重庆理10）设m，k为整数，方程220mxkx在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8（B）8(C)12(D)13【答案】D12.（天津理16）设函数21fxx．对任意3,2x，2414xfmfxfxfmm恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】33,,22U．【解析】解法１．不等式化为21440xfxfmfmfxm，即222222211441440xxmmxmm，整理得222114230mxxm，因为20x，所以22212314xmmx，设223xgxx，3,2x．于是题目化为22114mgxm，对任意3,2x恒成立的